Định lý con bướm

Minh họa định lý con bướm.

Định lý con bướm là một định lý trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau:

Cho dây cung PQ của một đường tròn và trung điểm M của nó. Vẽ hai dây cung AB và CD khác của đường tròn đi qua M. Gọi giao điểm của AD và BC với PQ tương ứng là X và Y. Khi đó M cũng là trung điểm của XY.

Chứng minh

Gọi $X'$ và $X''$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi $Y'$ và $Y''$ lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM.

Chứng minh của định lý con bướm.

Do

$\triangle MXX'\sim \triangle MYY'$

${MX \over MY}={XX' \over YY'}$

$\triangle MXX''\sim \triangle MYY''$

${MX \over MY}={XX'' \over YY''}$

$\triangle AXX'\sim \triangle CYY''$

${XX' \over YY''}={AX \over CY}$

$\triangle DXX''\sim \triangle BYY'$

${XX'' \over YY''}={DX \over BY}$

Mở rộng của Sharygin

Từ các đẳng thức trên, ta có

$\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}.{XX'' \over YY''}={AX.DX \over CY.BY}$

$={PX.QX \over PY.QY}$ (xem Phương tích)

$={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)}={PM^{2}-MX^{2} \over PM^{2}-MY^{2}}$ (do PM = MQ)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

${MX^{2} \over MY^{2}}={PM^{2}-MX^{2} \over PM^{2}-MY^{2}}={PM^{2} \over PM^{2}}=1$

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Mở rộng

Mở rộng định lý con bướm của Sharygin. Trên dây cung AB của đường tròn lấy điểm M, N sao cho AM=BN, đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm P, Q, đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm R, S. PR, SQ cắt AB tại hai điểm K, L khi đó MK=LN.

Liên kết ngoài

• Định lý con bướm tại Cut-The-Knot.
• Một định lý con bướm tổng quát hơn tại Cut-The-Knot.
• Chứng minh Định lý con bướm tại PlanetMath.
• Weisstein, Eric W., "Butterfly Theorem" từ MathWorld.