נתון: M אמצע PQ, צ"ל: MX=MY משפט הפרפר הוא משפט בגאומטריה אוקלידית .
יהי PQ מיתר נתון כלשהו במעגל , ש-M היא נקודת האמצע שלו. נעביר דרך M שני מיתרים נוספים, AB ו-CD, כך ש-A ו-C באותה קשת שהמיתר PQ קובע. מעבירים את המיתרים AD ו-BC ומסמנים את נקודות החיתוך שלהם עם PQ ב-X וב-Y בהתאמה. המשפט קובע כי מתקיים MX=MY.
המשפט קרוי "משפט הפרפר" בשל העובדה שהבנייה הנתונה בו דומה לפרפר . למשפט זה אין כמעט שימושים והוא ידוע בעיקר בשל האתגר שבהוכחתו .[ דרוש מקור ]
נעזר בעובדה הבאה: אם לשני משולשים יש זווית זהה, אז יחס השטחים שלהם שווה ליחס בין הצלעות הכולאות אותה. הדבר נובע מן הנוסחה:
S
=
a
b
sin
γ
2
{\displaystyle S={\frac {ab\sin \gamma }{2}}}
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו, וזוויות קודקודיות שוות זו לזו, כלומר:
∠
C
D
A
=
C
B
A
{\displaystyle \angle CDA=CBA}
∠
D
A
B
=
D
C
B
{\displaystyle \angle DAB=DCB}
∠
A
M
X
=
B
M
Y
{\displaystyle \angle AMX=BMY}
∠
C
M
Y
=
D
M
X
{\displaystyle \angle CMY=DMX}
כתוצאה מהעובדה שהוזכרה במשפט הראשון נובעים ארבעת השוויונות הבאים:
S
X
A
M
S
M
C
Y
=
A
X
⋅
A
M
C
M
⋅
C
Y
{\displaystyle {\frac {S_{XAM}}{S_{MCY}}}={\frac {AX\cdot AM}{CM\cdot CY}}}
S
C
M
Y
S
D
M
X
=
C
M
⋅
M
Y
D
M
⋅
M
X
{\displaystyle {\frac {S_{CMY}}{S_{DMX}}}={\frac {CM\cdot MY}{DM\cdot MX}}}
S
X
D
M
S
M
B
Y
=
D
X
⋅
D
M
B
M
⋅
B
Y
{\displaystyle {\frac {S_{XDM}}{S_{MBY}}}={\frac {DX\cdot DM}{BM\cdot BY}}}
S
B
M
Y
S
A
M
X
=
B
M
⋅
M
Y
A
M
⋅
M
X
{\displaystyle {\frac {S_{BMY}}{S_{AMX}}}={\frac {BM\cdot MY}{AM\cdot MX}}}
הכפלת אגפי שמאל זה בזה מביאה לתוצאה 1, ולכן גם הכפלת אגפי ימין צריכה להביא לתוצאה זאת. לאחר ביטול איברים זהים מתקבל
A
X
⋅
D
X
⋅
M
Y
2
C
Y
⋅
B
Y
⋅
M
X
2
=
1
{\displaystyle {\frac {AX\cdot DX\cdot MY^{2}}{CY\cdot BY\cdot MX^{2}}}=1}
A
X
⋅
D
X
C
Y
⋅
B
Y
=
M
X
2
M
Y
2
{\displaystyle {\frac {AX\cdot DX}{CY\cdot BY}}={\frac {MX^{2}}{MY^{2}}}}
לפי דרגה של נקודה :
A
X
⋅
D
X
=
P
X
⋅
Q
X
=
(
M
P
−
M
X
)
(
M
Q
+
M
X
)
{\displaystyle AX\cdot DX=PX\cdot QX=(MP-MX)(MQ+MX)}
ובדומה לכך:
C
Y
⋅
B
Y
=
Q
Y
⋅
P
Y
=
(
M
Q
−
M
Y
)
(
M
P
+
M
Y
)
{\displaystyle CY\cdot BY=QY\cdot PY=(MQ-MY)(MP+MY)}
נציב ב-(1):
(
M
P
−
M
X
)
(
M
Q
+
M
X
)
M
X
2
=
(
M
Q
−
M
Y
)
(
M
P
+
M
Y
)
M
Y
2
{\displaystyle {\frac {(MP-MX)(MQ+MX)}{MX^{2}}}={\frac {(MQ-MY)(MP+MY)}{MY^{2}}}}
אבל MP=MQ, ולכן מתקבל:
M
P
2
M
X
2
−
1
=
M
P
2
M
Y
2
−
1
{\displaystyle {\frac {MP^{2}}{MX^{2}}}-1={\frac {MP^{2}}{MY^{2}}}-1}
◼
{\displaystyle \blacksquare }
