Несчётное множество
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Несчётное мно́жество — бесконечное множество, не являющееся счётным.
Некоторые эквивалентные определения несчётности для множества :
- не существует инъективного отображения во множество натуральных чисел ;
- не пустое, и для каждой нумерованной последовательности элементов существует по крайней мере один элемент , не входящий в неё;
- иными словами: непусто, и не существует сюръективного отображения множества натуральных чисел на ;
- мощность не является ни конечной, ни равной .
Данные определения являются эквивалентными в системе Цермело — Френкеля без использования аксиомы выбора. Доказательство эквивалентности данных определений со следующим:
- мощность строго превышает
— требует привлечения аксиомы выбора.
Надмножество несчётного множества несчётно. Простейший пример несчётного множества — континуум, вопрос о существовании несчётных множеств с мощностью менее мощности континуума составляет содержание континуум-гипотезы.
Литература
[править | править код]- М. И. Войцеховский. Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.