Аксиома пары

Аксиомой [существования неупорядоченной] пары называется следующее высказывание теории множеств:

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})$

А именно: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать [по меньшей мере одну] „неупорядоченную пару“, то есть такое множество $c$, каждый элемент $b$ которого идентичен данному множеству $a_{1}$ или данному множеству $a_{2}$.»

Другие формулировки аксиомы пары

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b:\ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\}\ )$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\notin c\ \leftrightarrow \ b\neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2})$

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (a_{1}\in c\ \land \ a_{2}\in c\quad \land \quad \forall b\ (b\neq a_{1}\ \land \ b\neq a_{2}\to b\notin c)\ )$

Примечания

1. Аксиому пары можно вывести из схемы преобразования

• $\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\ \land \ c=\mathrm {f} (b)\ ))$, если положить $a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))$ и выбрать функцию $\mathrm {f}$ такой, что $c=\mathrm {f} (b)\ \Leftrightarrow \ (b=\varnothing \to c=a_{1})\land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})$.

2. Руководствуясь аксиомой объёмности можно доказать единственность [неупорядоченной] пары. Иначе говоря, можно доказать, что аксиома пары равносильна высказыванию

$\forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})$, что есть $\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall c'\ (\forall b\ (b\in c'\leftrightarrow b=a_{1}\lor b=a_{2})\ \leftrightarrow c=c')$

Последнее высказывание позволяет утверждать следующее: «Из любых двух [одинаковых или разных] множеств можно образовать только одну „неупорядоченную пару“, то есть такое множество $c$, каждый элемент $b$ которого идентичен данному множеству $a_{1}$ или данному множеству $a_{2}$.»

3. Из аксиомы пары можно вывести теорему о существовании одноэлементного множества:

$\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)$

См. также

• Аксиоматика теории множеств