Terna pitagorica

Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali $a$ , $b$ , $c$ tali che $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Il nome deriva dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Se $(a,b,c)$ è una terna pitagorica, lo è anche $(da,db,dc)$ , dove $d$ è un numero naturale qualsiasi. Il numero $d$ è quindi un divisore comune dei tre numeri $da$ , $db$ , $dc$ . Una terna pitagorica si dice primitiva se $a$ , $b$ e $c$ non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva.

Formula di Euclide per trovare le terne

Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche primitive; tali formule sono citate da Euclide (in greco antico: Ευκλείδης^?) nei suoi Elementi (in greco antico: τα Στοιχεία^?):

a=m^{2}-n^{2};\qquad b=2mn;\qquad c=m^{2}+n^{2}.

Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se $m$ e $n$ sono coprimi, cioè se non hanno divisori comuni diversi da 1, ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia $n$ che $m$ sono dispari $a$ , $b$ e $c$ sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi $m>n$ , mentre le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna primitiva per un opportuno fattore. Le formule così modificate sono quindi in grado di generare tutte le terne possibili, anche se in modo non univoco:

a=k\cdot (m^{2}-n^{2});\qquad b=k\cdot (2mn);\qquad c=k\cdot (m^{2}+n^{2}).

Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite, in quanto sono infinite le possibili scelte di $m$ e $n$ .

Dimostrazione

Il prodotto di $a$ per $b$ (dei due cateti) è sempre divisibile per $12$ ( $=3\cdot 4$ ), mentre il prodotto $abc$ (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre divisibile per $60$ ( $=3\cdot 4\cdot 5$ ). Infatti modulo $3$ e modulo $4$ si hanno solo $0$ e $1$ come quadrati, quindi, se $N=3$ o $N=4$ , si ha che se $m^{2}\equiv 0{\bmod {N}}$ oppure $n^{2}\equiv 0{\bmod {N}},$ allora $m\equiv 0{\bmod {N}}$ oppure $n\equiv 0{\bmod {N}}$ e quindi $b\equiv 0{\bmod {N}};$ se invece $m^{2}\equiv n^{2}\equiv 1{\bmod {N}},$ allora $a\equiv 0{\bmod {N}}.$ Di conseguenza $ab\equiv 0{\bmod {1}}2.$ Infine, poiché modulo $5$ i quadrati sono $0,\pm 1,$ se $m^{2}\equiv 0{\bmod {5}}$ oppure $n^{2}\equiv 0{\bmod {5}}$ oppure $m^{2}\equiv n^{2}\equiv 1{\bmod {5}}$ oppure $m^{2}\equiv n^{2}\equiv -1{\bmod {5}},$ ragionando analogamente si ha che $ab\equiv 0{\bmod {5}};$ se invece $m^{2}\equiv -n^{2}\equiv 1{\bmod {5}}$ oppure $m^{2}\equiv -n^{2}\equiv -1{\bmod {5}},$ allora $c\equiv 0{\bmod {5}}.$ Quindi, in tutti i casi $abc\equiv 0{\bmod {5}}$ da cui $abc\equiv 0{\bmod {6}}0.$

Terne pitagoriche con c < 100

Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con $c<100$ :

{\begin{matrix}(3,4,5)&(5,12,13)&(7,24,25)&(8,15,17)\\(9,40,41)&(11,60,61)&(12,35,37)&(13,84,85)\\(16,63,65)&(20,21,29)&(28,45,53)&(33,56,65)\\(36,77,85)&(39,80,89)&(48,55,73)&(65,72,97)\end{matrix}}

Altri esempi di terne pitagoriche

{\begin{matrix}(20,99,101)&(60,91,109)&(15,112,113)&(44,117,125)\\(88,105,137)&(17,144,145)&(24,143,145)&(51,140,149)\\(85,132,157)&(119,120,169)&(52,165,173)&(19,180,181)\\(57,176,185)&(104,153,185)&(95,168,193)&(28,195,197)\\(84,187,205)&(133,156,205)&(21,220,221)&(140,171,221)\\(60,221,229)&(105,208,233)&(120,209,241)&(32,255,257)\\(23,264,265)&(96,247,265)&(69,260,269)&(115,252,277)\\(160,231,281)&(161,240,289)&(68,285,293)\end{matrix}}

Si noti che (in base ai prodotti notevoli)

a^{2}=c^{2}-b^{2}=(c-b)(c+b).

Si osservi che esistono più terne pitagoriche primitive con lo stesso intero minore. Il più piccolo caso è $20$ , appartenente a: $(20,21,29)$ e $(20,99,101)$ .
Il numero $1229779565176982820$ è l'intero minore in esattamente $15386$ terne primitive; la più piccola e la più grande fra queste sono:

(1229779565176982820,1230126649417435981,1739416382736996181)

e

(1229779565176982820,378089444731722233953867379643788099,378089444731722233953867379643788101).

Si consideri la fattorizzazione:

1229779565176982820=2^{2}\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29\times 31\times 37\times 41\times 43\times 47.

L'ultimo teorema di Fermat afferma che non esistono terne non banali analoghe a quelle pitagoriche ma con esponenti maggiori di $2$ (cioè che l'equazione $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ non ammette soluzioni intere se $n>2$ ; esclusi i casi banali in cui almeno uno dei numeri è uguale a zero).

Un legame tra terne pitagoriche e primi gemelli può essere stabilito tramite la derivata aritmetica. Infatti un semiprimo i cui fattori primi siano due primi gemelli può essere espresso come $n=p(p+2)$ , la sua derivata aritmetica come $n'=2(p+1)$ e ${\sqrt {n^{2}+n'^{2}}}=(p+1)^{2}+1=p(p+2)+2=n+2$ . Questi numeri sono fra loro coprimi e perciò costituiscono una terna pitagorica primitiva.

Ciascun numero naturale maggiore di 2 appartiene almeno a una terna pitagorica e ogni numero primo può appartenere al più a 2 terne (in quest'ultima situazione una volta come cateto e una volta come ipotenusa del triangolo rettangolo cui si riferisce).