Неевклідова геометрія

На поверхні зображена жовтим пряма ℓ і білим точка A, яка не належить прямій. Блакитні прямі проходять через A і, якщо це можливо, не перетинають ℓ.

Поведінка прямих, які мають спільний перпендикуляр у трьох геометріях.

Порівняння еліптичної, евклідової та гіперболічної геометрій

Неевклідова геометрія — у буквальному розумінні — будь-яка геометрична система, відмінна від геометрії Евкліда; проте традиційно термін «Неевклідова геометрія» застосовується у вужчому сенсі й стосується лише двох геометричних систем: гіперболічної геометрії й сферичної геометрії. Як і евклідова ці геометрії належать до метричних геометрій тривимірного простору постійної секційної кривини. Нульова кривина відповідає евклідовій геометрії, додатна — сферичній, від'ємна — гіперболічній геометрії.

Суттєва різниця між метричними геометріями описується існуванням паралельних прямих. П'ятий постулат Евкліда або аксіома про паралельні прямі стверджує, що у двовимірній площині для будь-якої заданої прямої ℓ та точки A, яка не належить ℓ, існує рівно одна пряма, яка проходить через A і не перетинає ℓ. У гіперболічній геометрії, навпаки, через A проходить нескінченно багато прямих, які не перетинають ℓ. Тоді як в еліптичній геометрії будь-яка пряма, що проходить через A, перетинає ℓ (тобто, паралельних прямих у цій геометрії взагалі не існує).

Інший спосіб описати різницю між цими геометріями полягає в тому, щоб розглянути дві прямі, які перпендикулярні до третьої прямої:

• В евклідовій геометрії дві прямі залишаються на постійній відстані одна від одної (перпендикуляр, проведений до першої прямої в будь-якій її точці, перетне другу пряму, і довжина відрізка, який з'єднує точки перетину, є постійною). Такі прямі відомі як паралелі.
• У гіперболічній геометрії дві прямі, перпендикулярні до третьої, «розбігаються» одна від одної, віддаляючись, якщо рухатись від точок перетину із загальним перпендикуляром^{[джерело?]}.
• В еліптичній (сферичній) геометрії такі прямі поступово «наближаються» одна до одної і врешті-решт — перетинаються.

Література

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, Москва, 2007. ISBN 978-5-484-00871-1.
• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны [Архівовано 18 липня 2018 у Wayback Machine.]. — Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1988, том 29, стр. 5–146.
• Берже М. Геометрия. Пер. с франц., в двух томах. М., «Мир», 1984. 928 с. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия.
• История математики [Архівовано 28 листопада 2012 у WebCite] с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича), тома I—III, М., Наука, 1972.
• Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, — Гостехиздат, Москва, 1956.
• Клейн Ф. Неевклидова геометрия. [Архівовано 18 липня 2018 у Wayback Machine.] М.: изд. НКТП СССР, 1936, 355 с.
• Лаптев Б. Л. Н. И. Лобачевский и его геометрия. М.: Просвещение, 1976.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, Москва, 2000.
• Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского [Архівовано 3 липня 2013 у Wayback Machine.]. Изд. 3-е, МЦНМО, 2004. ISBN 5-94057-166-2.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.