Квадратний корінь з трьох
Квадратний корінь з трьох — додатне дійсне число, яке в другій степені дорівнює числу 3. Позначається як √3 або 31/2. Квадратний корінь з трьох є ірраціональним числом. Його також називають константою Феодора на честь давньогрецького математика Феодора Кіренського, який довів ірраціональність даного числа.
Станом на грудень 2013, його значення обчислили з точністю більше ніж десять мільйонів десяткових знаків[1]. Перші 65 десяткових знаків √3: [2]
- 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806
Дріб 97/56(1.732142857...) можна використати як наближення. Незважаючи на те що знаменник 56 є меншим за 100, значення виразу відрізняється від √3 менше ніж на 1/10,000 (близько 9.2×10−5). Округлене значення 1.732 точне в межах 0.01 % від справжнього значення.
Архімед знайшов проміжок для його значення: (1351/780)2
> 3 > (265/153)2
;[3] нижня границя точна до 1/608400 (шість десяткових знаків), верхня до 2/23409 (чотири десяткових знаки).
√3 можна виразити ланцюговим дробом [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] послідовність A040001 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
Отже якщо:
то коли :
Це доведення ірраціональності числа √3 використовує метод нескінченного спуску[en] Ферма:
Припустимо що √3 є раціональним числом, і виразимо його в формі повністю спрощеного дробу форми m/n, де m та n - натуральні числа.
Помножимо чисельник та знаменник на і отримаємо рівнозначний вираз:
де q — найбільше ціле число менше ніж √3. Зверніть увагу, що чисельник та знаменник множаться на число менше 1.
Розкриємо дужки:
З припущення отримаємо, що m можна замінити на √3n:
Далі √3 замінимо на m/n в знаменнику:
Квадрат числа √3 можна замінити на 3, а m/n * n спростити до m:
Отже √3 можна виразити меншим дробом ніж m/n як 3n − mq/m − nq(оскільки в першому кроці ми зменшили величину чисельника та знаменника, і наступні кроки не змінили їх) , що заперечує припущення про те, що m/n складався з найменших можливих чисел.[4]
В альтернативному способі доведення, припустимо, що √3 = m/n де m/n повністю скорочений дріб:
Помножимо на n обидві частини, тоді піднесемо до квадрату та отримаємо:
Оскільки ліву частину можна поділити на 3, те саме можна сказати і про праву: m повинне ділитись на 3. Тоді, m можна виразити як 3k:
Поділивши обидві частини на 3 отримаємо:
Оскільки праву частину можна поділити на 3, те саме можна сказати про ліву, а отже і про число n. Оскільки, n та m діляться на три, в них є спільний дільник, тому m/n не є повністю скороченим дробом, що заперечує початкове припущення.
- S., D.; Jones, M. F. (1968). 22900D approximations to the square roots of the primes less than 100. Mathematics of Computation. 22 (101): 234—235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
- Uhler, H. S. (1951). Approximations exceeding 1300 decimals for , , and distribution of digits in them. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443—447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
- Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (вид. Revised). London: Penguin Group. с. 23.
- ↑ Computations | Łukasz Komsta (амер.). Архів оригіналу за 4 Листопада 2016. Процитовано 11 вересня 2021.
- ↑ A002194 - OEIS. oeis.org. Архів оригіналу за 11 Вересня 2021. Процитовано 11 вересня 2021.
- ↑ Knorr, Wilbur R. (1976), Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation, Archive for History of Exact Sciences, 15 (2): 115—140, doi:10.1007/bf00348496, JSTOR 41133444, MR 0497462.
- ↑ Grant, M.; Perella, M. (July 1999). Descending to the irrational. Mathematical Gazette. 83 (497): 263—267. doi:10.2307/3619054. JSTOR 3619054.