Фигура (дифференциальная геометрия)

Фигу́ра (англ. shape) — любое подмножество некоторого однородного пространства с фундаментальной группой, которое можно включить в некоторое пространство фигуры — множество подмножеств этого пространства такое, что это множество изоморфно некоторому пространству геометрического объекта. Компоненты геометрического объекта называются координатами соответствующей фигуры.

Ранг, жанр, характеристика и тип геометрического объекта называются рангом, жанром, характеристикой и типом соответствующей фигуры. Вместе они образуют арифметические инварианты фигуры. Например, окружность в трёхмерном евклидовом пространстве — это фигура ранга 6, жанра 1, характеристики 1 и типа 1; точка в трёхмерном проективном пространстве — это фигура ранга 3, жанра 0, характеристики 2 и типа 1.

Вполне интегрируемая система уравнений Пфаффа, определяющая геометрический объект, называется системой уравнений инвариантности (стационарности) фигуры.

Простая и индуцирующая фигура

Пусть даны $F$ и ${\bar {F}}$ — две некоторые фигуры некоторого однородного пространства. Если существует отображение пространства фигуры $F$ на пространство фигуры ${\bar {F}}$ такое, что любой геометрический объект, соответствующий фигуре ${\bar {F}}$, охватывается любым геометрическим объектом, соответствующим фигуре $F$, то говорят, что фигура $F$ охватывает, или индуцирует, фигуру ${\bar {F}}$ (равно фигуру ${\bar {F}}$ охватывается, или индуцируется, фигурой $F$).

Фигура $F$ ранга $N$ называется простой, если она не охватывает никакой другой фигуры меньшего ранга. Фигура $F$ называется индуцирующей фигурой индекса ${\bar {N}}<N$, если существует охватываемая ею фигура ранга ${\bar {N}}$, причем ранг $N^{\prime }$ любой другой фигуры $F^{\prime }$, охватываемой фигурой $F$, не превосходит ${\bar {N}}$.

Например, точка, $p$-мерная плоскость, гиперквадрика в $n$-мерном проективном пространстве — простые фигуры. Гиперквадрика в $n$-мерном аффинном пространстве и $d$-мерная ($d\leqslant n-2$) квадрика в $n$-мерном проективном пространстве — индуцирующие фигуры соответственно индексов $n$ и $(d+2)(n-d-1)$.

Пара фигур. Коэффициент инцидентности

Парой фигур $F=(F_{1},F_{2})$ называется упорядоченная множество двух фигур. Коэффициентом инцидентности пары фигур называется число

$k=N_{1}+N_{2}-N$,

где $N_{1}$ и $N_{2}$ — ранги фигур $F_{1}$ и $F_{2}$ соответственно, а $N$ — ранг системы форм

$\Omega ^{J_{1}}$, $\Omega ^{J_{2}}$, $J_{1}=1,2,\ldots ,N_{1}$, $J_{2}=1,2,\ldots ,N_{2}$, —

левых частей уравнений стационарности фигур $F_{1}$ и $F_{2}$ соответственно. Если коэффициент инцидентности пары $k=0$, то пара $F=(F_{1},F_{2})$ называется неинцидентной.

Источники

• Малаховский В. С. Фигура // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 613—614.