Неевклидова геометрия

(1) евклидова геометрия; (2) геометрия Римана; (3) геометрия Лобачевского

Неевклидова геометрия — в буквальном понимании — любая геометрическая система, которая отличается от геометрии Евклида; однако традиционно термин «неевклидова геометрия» применяется в более узком смысле и относится только к традиционным неевклидовым геометрическим системам: геометрии Лобачевского и сферической геометрии (или схожей с ней геометрии Римана).

Как и евклидова, эти геометрии относятся к метрическим геометриям пространства постоянной кривизны. Нулевая кривизна соответствует евклидовой геометрии, положительная — совпадающим по локальным свойствам сферической или геометрии Римана, отрицательная — геометрии Лобачевского.

Метрика для плоскости

Вид метрики для однородных планиметрий зависит от выбранной системы (криволинейных) координат; далее приводятся формулы для случая полугеодезических координат:

• Евклидова геометрия: $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}$ (теорема Пифагора).
• Сферическая геометрия: $ds^{2}=dx^{2}+\cos ^{2}\left({\frac {y}{R}}\right)dy^{2}$. Здесь R — радиус сферы.
• Геометрия Лобачевского: $ds^{2}=dx^{2}+\operatorname {ch} ^{2}\left({\frac {y}{R}}\right)dy^{2}$. Здесь R — радиус кривизны плоскости Лобачевского, ch — гиперболический косинус.

История понятия

Основная статья: Аксиома параллельности Евклида

См. также

• Неархимедова геометрия
• Недезаргова геометрия

Литература

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия. — Наука, Москва, 1990. ISBN 978-5-9775-0419-5.
• Александров П. С. Что такое неэвклидова геометрия. — УРСС, Москва, 2007. ISBN 978-5-484-00871-1.
• Алексеевский Д. В., Винберг Э. Б., Солодовников А. С. Геометрия пространств постоянной кривизны. — Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1988, том 29, стр. 5–146.
• Берже М. Геометрия. Пер. с франц., в двух томах. М., «Мир», 1984. 928 с. Том II, часть V: Внутренняя геометрия сферы, гиперболическая геометрия.
• История математики с древнейших времён до начала XIX столетия (под ред. А. П. Юшкевича), тома I—III, М., Наука, 1972.
• Делоне Б. Н. Элементарное доказательство непротиворечивости планиметрии Лобачевского, — Гостехиздат, Москва, 1956.
• Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М.: изд. НКТП СССР, 1936, 355 с.
• Лаптев Б. Л. Н. И. Лобачевский и его геометрия. М.: Просвещение, 1976.
• Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Факториал, Москва, 2000.
• Прасолов В. В. Геометрия Лобачевского. Изд. 3-е, МЦНМО, 2004. ISBN 5-94057-166-2.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.