Декартов лист

Декартов лист — плоская алгебраическая кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе $x^{3}+y^{3}=3axy$. Параметр $3a$ определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли.

Декартов лист

История

«Цветок Жасмина»

Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где $x$ и $y$ принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin).

В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения

• В прямоугольной системе по определению:

$\textstyle x^{3}+y^{3}=3axy.$

• В полярной системе:

$\rho ={\frac {3a\cos \varphi \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi }}.$

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

${\begin{cases}x={\dfrac {3at}{1+t^{3}}}\\y={\dfrac {3at^{2}}{1+t^{3}}}\end{cases}}$, где $t=\operatorname {tg} \varphi$.

Повёрнутый декартов лист

Часто рассматривают повёрнутую на $135^{\circ }$ кривую. Её уравнения выглядят так:

• В прямоугольной системе:

$y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}$, где $l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}.$

• Параметрическое:

$x=l{\frac {t^{2}-1}{3t^{2}+1}},\ y=l{\frac {t(t^{2}-1)}{3t^{2}+1}}.$

• В полярных координатах:

$\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}.$

Вывод уравнений повёрнутой кривой

Систему координат XOY преобразуют в систему координат UOV, которая получается поворотом осей OX и OY по часовой стрелке на угол $\alpha ={\frac {\pi }{4}}$ и переориентацией оси OX в противоположном направлении: ${\begin{vmatrix}x\\y\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-u\\v\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{vmatrix}}$ Выражение старых координат XY через новые UV выглядит так: $\textstyle x=-u\cos \alpha -v\sin \alpha$ $\textstyle y=-u\sin \alpha +v\cos \alpha$, или $\textstyle x=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}-{\frac {v}{\sqrt {2}}}$ $\textstyle y=-{\frac {u}{\sqrt {2}}}+{\frac {v}{\sqrt {2}}}$, После подстановки выражений старых координат через новые уравнение декартова листа преобразуется к следующему виду: $v^{2}={\frac {u^{2}}{3}}{\frac {3a+u{\sqrt {2}}}{a-u{\sqrt {2}}}}$. Вводим параметр $l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}$, последнее уравнение перепишется так: $v^{2}=u^{2}{\frac {l+u}{l-3u}}$ или $v=\pm u{\sqrt {\frac {l+u}{l-3u}}}$. Заменяем переменные u и v на привычные x и y и получаем уравнение декартового листа в новой системе координат: $y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}$ Подставив в уравнение предыдущее $x=\rho \cos \varphi ,\ y=\rho \sin \varphi$, получаем уравнение декартова листа в полярной системе координат: $\rho \sin \varphi =\rho \cos \varphi {\sqrt {\frac {t+\rho \cos \varphi }{t-3\rho \cos \varphi }}}$. Решая данное выражение относительно $\rho$, получаем: $\rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}$.

Свойства

• Прямая $OA$ — ось симметрии, её уравнение: $y=x$.
• Точка A называется вершиной, её координаты $\left({\frac {3a}{2}},{\frac {3a}{2}}\right)$.

• Для обеих ветвей существует асимптота $UV$, её уравнение: $x+y+a=0$.

Вывод уравнения асимптоты

Для повёрнутого декартового листа: При $y=0$ имеем $x=0$ или $\textstyle {\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0$, Рассматриваем второй случай: $l+x=0$, то есть, $x=-l$, то есть $\textstyle x=-{\frac {3a}{\sqrt {2}}}$, значит $\textstyle OA={\frac {3a}{\sqrt {2}}}$. Уравнение асимптоты UV определяется из выражения: $l-3x=0$, следовательно, $\textstyle x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}$. После поворота осей на $-135^{\circ }$ получаем окончательное уравнение $x+y+a=0$

• Площадь области между дугами $ACO$ и $ABO$ $\textstyle S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$

Нахождение площади $S_{1}$

Площадь $S_{1}$, заключённая между дугами ACO и ABO вычисляется так: ${\frac {1}{2}}S_{1}=-\int \limits _{-l}^{0}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}\,dx$, где $l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}$. Этот интеграл вычисляется с помощью подстановки: $u=l-3x,\ l+x={\frac {4}{3}}l-{\frac {1}{3}}u,\ dx=-{\frac {1}{3}}du$. Пределы интегрирования: $x=-l\Rightarrow \;u=4l,\qquad x=0\Rightarrow \;u=l$ Интеграл преобразуется к виду: ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}\left(l-u\right){\sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du$ или ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}u{\sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du$ Первый интеграл из этого уравнения: ${\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}l{\sqrt {\frac {4l-u}{u}}}\,du$. Подстановка: $u=v^{2},\qquad du=2vdv$. Пределы интегрирования: $u=4l\Rightarrow \;v=2{\sqrt {l}},\qquad u=l\Rightarrow \;v={\sqrt {l}}$. Интеграл преобразуется к виду: ${\frac {2l}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=$ $={\frac {2l}{\sqrt {3}}}\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2{\sqrt {t}}\right)^{2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2{\sqrt {l}}\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v}{2{\sqrt {l}}}}\right)\right]{\Bigg |}_{2{\sqrt {l}}}^{\sqrt {l}}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]$. Второй интеграл: $-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{4l}^{l}{\sqrt {4tu^{2}-u^{2}}}\,du$ Подстановка: $u=v+2l,\qquad du=dv$. Пределы интегрирования: $u=4l\Rightarrow \;v=2t,\qquad u=l\Rightarrow \;v=-l$. Интеграл преобразуется к виду: $-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\int \limits _{2l}^{-l}{\sqrt {\left(2l\right)^{2}-v^{2}}}\,dv=$ $=-{\frac {1}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {v}{2}}{\sqrt {\left(2l\right)^{2}-v^{2}}}+{\frac {\left(2l\right)^{2}}{2}}\arcsin \left({\frac {v}{2l}}\right)\right]{\Bigg |}_{2l}^{-l}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {4}{3}}\pi \right]$. Итак: ${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\sqrt {3}}-{\frac {4}{3}}\pi \right]+{\frac {l^{2}}{9{\sqrt {3}}}}\left[{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {4}{3}}\pi \right]$. Площадь $S_{1}$ равна $S_{1}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$.

• Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли $\textstyle S_{2}=S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}$.

Нахождение площади $S_{2}$

Площадь $S_{2}$, заключённая между ветвями кривой и асимптотой UV, вычисляется точно также, как и площадь $S_{1}$; интеграл берётся в пределах от 0 до $\textstyle {\frac {l}{3}}$. ${\frac {1}{2}}S_{2}=\int \limits _{0}^{\frac {l}{3}}x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}\,dx$ Этот интеграл вычисляется также, как и в предыдущем случае. $S_{2}={\frac {l^{2}}{3}}={\frac {3}{2}}a^{2}$, то есть, площади $S_{1}$ и $S_{2}$ равны между собой.

• Объём тела, образованного при вращении дуги $ACO$ вокруг оси абсцисс $\textstyle V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$

Нахождение объёма вращения

Объём ($V_{1}$) тела, образованного при вращении дуги $ACO$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так: $V_{1}=\pi \int \limits _{-l}^{0}x^{2}{\frac {l+x}{l-3x}}\,dx=$ $=-{\frac {\pi }{3}}\int \limits _{-l}^{0}x^{2}\,dx-{\frac {4\pi l}{9}}\int \limits _{-l}^{0}x\,dx-{\frac {4\pi l^{2}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}\,dx+{\frac {4\pi l^{3}}{27}}\int \limits _{-l}^{0}{\frac {dx}{l-3x}}\,=$ $={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$. Итак: $V_{1}={\frac {\pi l^{3}}{27}}\left(\ln {4}-1\right)$. Объём ($V_{2}$) тела, образованного при вращении одной ветви вокруг оси абсцисс, стремится к бесконечности. Этот объём вычисляется из предыдущего интеграла в пределах от $0$ до ${\frac {t}{3}}$. Этот интеграл равен бесконечности, то есть $V_{2}=\infty$.

Исследование кривой

При $y=0$ имеем $x=0$ или ${\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}=0$, или $l+x=0\Rightarrow x=-l\Rightarrow x=-{\frac {3a}{\sqrt {2}}}$, то есть $OA={\frac {3a}{\sqrt {2}}}$.

Уравнение асимптоты UV определяется из выражения:

$l-3x=0\Rightarrow x={\frac {l}{3}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}$.

Производная

Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции:

$y'=\left(x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}\right)'$

$y'={\frac {2lx}{\left(l-3x\right)\left({\sqrt {l-3x}}{\sqrt {l+x}}\right)}}+{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}$.

Приравниваем производную y' к нулю и решаем полученное уравнение относительно x. Получим: $x=-{\frac {l}{\sqrt {3}}}$. При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге $ACO$ — точка $C$ и минимум на нижней дуге $ABO$ — точка $B$. Значение функции в этих точках равно:

$y\left(-{\frac {l}{\sqrt {3}}}\right)=\pm {\frac {l}{\sqrt {3}}}{\sqrt {\frac {3-{\sqrt {3}}}{{\sqrt {3}}+1}}}$.

Значение производной y’ в точке $O$ равно $\pm 1$, то есть касательные в точке $O$ взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом $\pm {\frac {\pi }{4}}$.

См. также

• Овал Декарта

Ссылки

• Д. К. Бобылёв. Декартов лист // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.