Otoczka mierzalna

Otoczka mierzalna – dla danego podzbioru przestrzeni z miarą, zbiór mierzalny, który jest w pewnym sensie od niego niewiele większy. Otoczka mierzalna (o ile istnieje) nie jest wyznaczona jednoznacznie (tzn. jest wyznaczona z dokładnością do zbioru miary zero). Otoczką mierzalną zbioru mierzalnego jest on sam oraz każdy inny zbiór mierzalny różniący się z nim o zbiór miary zero. Czasami używa się również pojęcia dualnego do pojęci otoczki mierzalnej, tzw. jądra mierzalnego.

Definicja

Niech $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech $\mu ^{*}(A)=\inf\{\mu (B)\colon \,B\in {\mathcal {A}},\,A\subseteq B\}$ dla dowolnego $A\subseteq \Omega .$

Zbiór $B\in {\mathcal {A}}$ nazywany jest

• otoczką mierzalną zbioru $A\subseteq \Omega ,$ gdy $A\subseteq B$ oraz dla każdego zbioru $C\in {\mathcal {A}}$

$\mu (B\cap C)=\mu ^{*}(A\cap C)$

• jądrem mierzalnym zbioru $A\subseteq \Omega ,$ gdy $B\subseteq A$ oraz dla każdego zbioru $C\in {\mathcal {A}}$

$\mu (B\cap C)=\mu ^{*}(A\cap C)$

Zbiór $A\subseteq \Omega$ ma otoczkę mierzalną wtedy i tylko wtedy, gdy ma jądro mierzalne.

Własności

• Jeżeli $A\subseteq \Omega$ oraz $A\subseteq B,\,B\in {\mathcal {A}},$ to $B$ jest otoczką mierzalną zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego takiego zbioru $F\subseteq B\setminus A,$ że $F\in {\mathcal {A}}$ mamy $\mu (F)=0.$
• Jeżeli $A\subseteq \Omega$ oraz $A\subseteq B,\,B\in {\mathcal {A}}$ i $\mu (B)<\infty ,$ to $B$ jest otoczką mierzalną zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\mu ^{*}(A)=\mu (E).$

• Jeżeli $B$ jest otoczką mierzalną zbioru $A$ oraz $H\in {\mathcal {A}},$ to $B\cap H$ jest otoczką mierzalną zbioru $A\cap H.$
• Jeżeli dla każdej liczby naturalnej n zbiór $B_{n}$ jest otoczką mierzalną zbioru $A_{n},$ to $\bigcup _{n<\omega }B_{n}$ jest otoczką mierzalną $\bigcup _{n<\omega }A_{n}.$
• Jeżeli $\mu$ jest miarą σ-skończoną, to każdy zbiór $A\subseteq \Omega$ ma otoczkę mierzalną. W szczególności, każdy podzbiór przestrzenią euklidesową (z miarą Lebesgue’a) ma otoczkę mierzalną.
• Jeżeli $\mu$ jest miarą σ-skończoną oraz ${\mathcal {N}}$ jest ideałem zbiorów miary zero w $\Omega ,$ to ilorazowa algebra Boole’a ${\mathcal {P}}(\Omega )/{\mathcal {N}}$ jest monadyczną algebrą Boole’a z operacją $\exists a=a^{*},$ gdzie $a^{*}$ jest klasą abstrakcji dowolnej otoczki mierzalnej dowolnego reprezentanta klasy $a.$

Bibliografia

• D.H. Fremlin: Measure Thoery: Volume 1. Torres Fremlin, Colchester 2000, s. 66.