Derdemachtswortel

De derdemachtswortel (soms ook kubuswortel) van een reëel getal $x$, genoteerd als ${\sqrt[{3}]{x}}$, is het reële getal $a$ dat tot de derde macht verheven gelijk is aan $x$. Anders geformuleerd:

$a={\sqrt[{3}]{x}}\Longleftrightarrow a^{3}=x$

Een alternatieve notatie voor de derdemachtswortel is

${\sqrt[{3}]{x}}=x^{\frac {1}{3}}$

Voorbeelden

De derdemachtswortel van 8:

${\sqrt[{3}]{8}}=2$, omdat $2^{3}=8$

De derdemachtswortel van 125:

${\sqrt[{3}]{125}}=5$, omdat $5^{3}=125$

De derdemachtswortel van een miljoenste:

${\sqrt[{3}]{0{,}000001}}=0{,}01$, omdat $0{,}01^{3}=0{,}000001$

De derdemachtswortel van 27.000:

${\sqrt[{3}]{27.000}}=30$, omdat $30^{3}=27.000$

De derdemachtswortel van 1:

${\sqrt[{3}]{1}}=1$, omdat $1^{3}=1$

De derdemachtswortel van -64:

${\sqrt[{3}]{-64}}=-4$, omdat $(-4)^{3}=-64$

Als nulpunt van een derdegraads polynoom

De derdemachtswortel is ook op te vatten als de oplossing van een algebraïsche vergelijking, ofwel als een nulpunt van een derdegraads polynoom. In het geval van ${\sqrt[{3}]{125}}=5$ gaat het om de volgende vergelijking:

$x^{3}-125=0$

Nadat de wortel 5 is gevonden, kunnen we deze vergelijking ontbinden in factoren:

$(x-5)(x^{2}+5x+25)=0$

Er zijn nog meer wortels, namelijk de oplossingen van de tweede factor, maar die zijn vanwege de negatieve discriminant duidelijk niet reëel.

Bij complexe getallen

In het artikel Complex getal wordt beschreven hoe derdemachtswortels van complexe getallen worden bepaald.

Geschiedenis

Heron van Alexandrië geeft in zijn boek Metrica (1e eeuw na Christus) al een manier om de derdemachtswortel uit een getal $N$ te benaderen, die kan worden geschreven als:

$a+{\frac {bd}{bd+aD}}(b-a)$,

waarin $a^{3}<N<b^{3},d=N-a^{3},D=b^{3}-N$.

Benadering van derdemachtswortels

Het berekenen van een (derdemachts)wortel is geen elementaire rekenoperatie zoals optellen of vermenigvuldigen. Om met deze operaties een benadering van een wortel te vinden (een irrationaal getal kan per definitie nooit exact in decimale notatie worden weergegeven dus een benadering is het best mogelijke) wordt daarom een rekenschema een aantal keer herhaald (iteratie).

Een meetkundig aanschouwelijke aanpak is: de gezochte derdemachtswortel van het getal $c$ is de lengte van de zijde van een kubus met inhoud $c$. Benader die kubus nu door een rij balken met vierkant grondvlak en vaste inhoud $c$. Van elke volgende balk in de rij is de zijde van het grondvlak het gemiddelde van de zijden van zijn voorganger. De hoogte wordt zo gekozen dat de inhoud gelijk blijft.

De gezochte wortel ligt altijd tussen de zijde van het grondvlak en de hoogte van de balk, wat meteen een schatting voor de fout oplevert. Het verschil tussen deze lengtes neemt steeds met meer dan de helft af, de methode convergeert dus snel. Herhaal het procedé tot de fout voldoende klein is.

Deze rekenmethode is equivalent met het Newton-Raphson-algoritme, toegepast op de functie $f(x)=x^{3}-c$. Het te benaderen nulpunt van deze functie is de derdemachtswortel uit $c$.

Rekenmachine

De meeste rekenmachines hebben de mogelijkheid een willekeurige macht van een getal uit te rekenen, met behulp van een toets waarop meestal $x^{y}$ staat. Omdat

${\sqrt[{3}]{x}}=x^{\frac {1}{3}}(=x^{1/3})^{3}:5=3,15234567898754357765433457886444444...$

kan hiermee de derdemachtswortel uit een getal worden uitgerekend. Wel moet eerst 1/3 worden berekend. Zo is:

${\sqrt[{3}]{729}}=729^{1/3}=9$

Benaderen met de rekenmachine

Een interessante mogelijkheid is ook derdemachtswortels uit te rekenen met een iteratieve methode waarbij alleen de eenvoudige operaties en de worteltoets worden gebruikt. Daarvoor herleidt men de vergelijking

$x^{3}=c$

via

$x^{4}=cx\exp _{\acute {\aleph }}$

tot (V^(1/3))^2 = V^(2/3)

$x={\sqrt {\sqrt {cx}}}$

Deze vergelijking wordt iteratief opgelost door een geschikt getal $x_{0}$ als startwaarde te kiezen en dan steeds een volgende iteratie te berekenen met:

$x_{n+1}={\sqrt {\sqrt {cx_{n}}}}$

Voorbeeld:

$x^{3}=100$

Kies:

$x_{0}=5,$

vermenigvuldig met $c=100$ en bereken:

$x_{1}={\sqrt {\sqrt {500}}}=4{,}728708\ldots$

Ga verder, door steeds het resultaat te vermenigvuldigen met 100 en weer twee keer de wortel te trekken:

$x_{2}={\sqrt {\sqrt {472{,}8708\ldots }}}=4{,}663216\ldots$

$x_{3}={\sqrt {\sqrt {466{,}3216\ldots }}}=4{,}646986\ldots$

$x_{2}={\sqrt {\sqrt {464{,}6986\ldots }}}=4{,}642973\ldots$

$x_{4}={\sqrt {\sqrt {464{,}2973\ldots }}}=4{,}641926\ldots$

$x_{5}={\sqrt {\sqrt {464{,}1926\ldots }}}=4{,}641673\ldots$

$x_{6}={\sqrt {\sqrt {464{,}1673\ldots }}}=4{,}641609\ldots$

$x_{6}={\sqrt {\sqrt {464{,}1609\ldots }}}=4{,}641594\ldots$

$x_{7}={\sqrt {\sqrt {464{,}1594\ldots }}}=4{,}641590\ldots$

$x_{8}={\sqrt {\sqrt {464{,}1590\ldots }}}=4{,}641589\ldots$

Vermoedelijk is nu al het antwoord in 4 decimalen nauwkeurig gevonden, Wil men meer decimalen, dan moet men verdergaan.

Tabel als hulpmiddel

De derdemachtsworteltabel is een hulpmiddel dat bij het rekenen gebruikt werd voordat er elektronische hulpmiddelen ter beschikking kwamen. Hiermee konden relatief snel wortels uitgerekend worden.

De tabel bestond uit een lijst "standaardwortels" van waarden met gelijke tussenstappen. Met behulp van deze tabellen en de rekenregels voor wortels konden dan weer andere wortels berekend worden. De tabellen werden afgedrukt in boekjes, samen met gelijkaardige tabellen voor de berekening van logaritmen en andere wiskundige berekeningen.

De hier bijgevoegde tabel van positieve derdemachtswortels met een precisie van 4 decimalen is samengesteld met behulp van de halveringsmethode.

Grafiek van $y={\sqrt[{3}]{x}}$

Derdemachtsworteltabel

	,0	,1	,2	,3	,4	,5	,6	,7	,8	,9
0	0,0000	0,4642	0,5848	0,6694	0,7368	0,7937	0,8434	0,8879	0,9283	0,9655
1	1,0000	1,0323	1,0627	1,0914	1,1187	1,1447	1,1696	1,1935	1,2164	1,2386
2	1,2599	1,2806	1,3006	1,3200	1,3389	1,3572	1,3751	1,3925	1,4095	1,4260
3	1,4422	1,4581	1,4736	1,4888	1,5037	1,5183	1,5326	1,5467	1,5605	1,5741
4	1,5874	1,6005	1,6134	1,6261	1,6386	1,6510	1,6631	1,6751	1,6869	1,6985
5	1,7100	1,7213	1,7325	1,7435	1,7544	1,7652	1,7758	1,7863	1,7967	1,8070
6	1,8171	1,8272	1,8371	1,8469	1,8566	1,8663	1,8758	1,8852	1,8945	1,9038
7	1,9129	1,9220	1,9310	1,9399	1,9487	1,9574	1,9661	1,9747	1,9832	1,9916
8	2,0000	2,0083	2,0165	2,0247	2,0328	2,0408	2,0488	2,0567	2,0646	2,0724
9	2,0801	2,0878	2,0954	2,1029	2,1105	2,1179	2,1253	2,1327	2,1400	2,1472
10	2,1544	2,1616	2,1687	2,1758	2,1828	2,1898	2,1967	2,2036	2,2104	2,2172

Zie ook

• Derdegraadsvergelijking
• Complex getal
• Kubusgetal

Bronnen, noten en/of referenties