가우스 상수

수학에서 가우스 상수 $G$는 1과 제곱근 2의 산술 기하 평균의 역수로 정의된다.

$G={\frac {1}{\mathrm {agm} \left(1,{\sqrt {2}}\right)}}=0.8346268\dots .$

상수는 1799년 5월 30일 가우스(Carl Friedrich Gauss)의 이름을 딴 것이다.

$G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}$

그래서,

$G={\frac {1}{2\pi }}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}}\right)$

여기서 $B$는 베타 함수다.

가우스 상수는 가우스 인력상수와 혼동되어서는 안 된다.

다른 상수와의 관계

가우스 상수는 ${1 \over 4}$에서 감마 함수를 표현하는 데 사용될 수 있다.

$\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}$

또는,

$G={{\left[\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right]^{2}} \over {2{\sqrt {2\pi ^{3}}}}}$

$\pi$ 와 $\Gamma \left({1 \over 4}\right)$는 가우스 상수와 대수적으로 독립적이기 때문에 가우스 상수는 초월적이다.

렘니스케이트(Lemniscate) 상수

가우스(Gauss) 상수는 베르누이의 렘니스케이트같은 렘니스케이트(염주형꼴) 상수의 정의에 사용될 수 있는데,

첫 번째는 다음과 같다.

$L_{1}\;=\;\pi G$

및 두 번째 상수

$L_{2}\,\,=\,\,{\frac {1}{2G}}$

렘니스케이트(염주형꼴)의 호 길이를 찾는 과정에서 발생한다.

같이 보기

• 수학 상수
• 베르누이의 렘니스케이트
• 베타 함수
• 시에르핀스키 상수

참고

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gauss's Constant”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Sequences A014549 and A053002 in OEIS