Equazione ipergeometrica

In matematica, l'equazione ipergeometrica è una equazione differenziale ordinaria lineare ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann. Le sue soluzioni sono dette funzioni ipergeometriche, e rivestono grande importanza in matematica. Ogni equazione differenziale ordinaria del secondo ordine con al massimo tre singolarità regolari può essere trasformata nell'equazione ipergeometrica.

L'equazione ha la forma:

z(1-z){\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\,u(z)+[c-(a+b+1)z]{\frac {d}{dz}}\,u(z)-ab\,u(z)=0

ovvero:

z(1-z)u''+[c-(a+b+1)z]u'-abu=0

con $a$ , $b$ , $c$ e $z$ variabili complesse o variabili formali; in genere è opportuno considerare $a$ , $b$ e $c$ come parametri costanti che caratterizzano una famiglia di equazioni e di soluzioni. L'equazione possiede singolarità regolari, in 0,1 e $\infty$ .

Soluzioni

Generalmente si può facilmente ricavare questa equazione dall'equazione di Papperitz-Riemann, ma è possibile dimostrare che ogni equazione fuchsiana con tre punti di singolarità fuchsiane può sempre essere ricondotta alla ipergeometrica. Se si riesce a padroneggiare questa riconduzione si ha il vantaggio di conoscere già le soluzioni di quest'ultima e poter ricavare facilmente le soluzioni della prima.

Si usa spesso esprimere la soluzione tramite il simbolo P di Riemann:

u:=P{\begin{Bmatrix}0&1&\infty \\0&0&a&z\\1-c&c-a-b&b\end{Bmatrix}}

L'espressione esplicita di una prima soluzione $\,u_{1}$ si può determinare esprimendola come serie di potenze:

u_{1}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n}z^{n}

spostando il problema all'analisi dei coefficienti di tale serie, ovvero alle soluzioni di un sistema numerabile di equazioni algebriche nelle incognite $c_{n}$ . Sostituendo e trovando una prima soluzione per i $c_{n}$ si ottiene una prima soluzione del tipo:

u_{1}=F(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}\,k!}}z^{k}

con $\left|z\right|<1$ e $c\neq n,n=-1,-2,-3\dots$ ; qui si sono utilizzati fattoriali crescenti come $\,(a)_{k}$ .

In maniera analoga si può ricavare la seconda soluzione $u_{2}$ , linearmente indipendente da $u_{1}$ solo se gli esponenti (o la loro parte reale se sono complessi) non differiscono per numeri interi:

u_{2}=(1-z)^{c-1}F(a+1-c,b+1-c;2-c;z)=(1-z)^{c-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a+1-c)_{k}\,(b+1-c)_{k}}{(2-c)_{k}\,k!}}\,z^{k}

con $\left|z\right|<1$ e $1-c\neq n,n=0,-1,-2,-3\dots$ .

Nel caso in cui gli esponenti differiscano per interi si ha una seconda soluzione di tipo logaritmico:

u_{2}=au_{1}(z)\log(z-z_{0})+(z-z_{0})^{\rho _{1}}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}(z-z_{0})^{k}

Relazioni tra soluzioni di equazioni ipergeometriche

Sfruttando le proprietà di trasformazione del simbolo P di Riemann si può facilmente ricavare delle relazioni tra le soluzioni dell'Equazione Ipergeometrica. La prima che andremo ad analizzare va sotto il nome di relazione di autotrasformazione:

F(a,b;c;z)\,=\,(1-z)^{c-a-b}F(c-a,c-b;c;z)

che risulta valida anche per $c$ numero intero positivo, per motivi di continuità. Un'altra relazione è la prima delle formule di Bolza:

F(a,b;c;z)\,=\,(1-z)^{-a}F\left(a,c-1;c;{\frac {z}{1-z}}\right)

Derivata n-esima

Vale la seguente formula per la derivata n-esima di una funzione ipergeometrica:

{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}F(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c_{n})}}F(a+n,b+n;c+n;z)

Integrali ipergeometrici

Risolvendo l'integrale complesso (integrale ipergeometrico):

I(z)=\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt

si ottiene il risultato:

I(z)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a)}{\Gamma (c)}}F(a,b;c;z)

dove $\Gamma$ denota la funzione gamma.

Questo risultato consente di vedere che la funzione ipergeometrica ammette la rappresentazione integrale (di Eulero):

F(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a)}{\Gamma (c)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt

Inoltre utilizzando quest'ultima relazione si ricava facilmente il valore della funzione ipergeometrica nel punto $\,z=1$ :

F(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}

Bibliografia

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(FR) Edouard Goursat (1936) Leçons sur les séries hypergéométriques et sur quelques fonctions qui s'y rattachent, Hermann, Parigi.
(FR) Joseph Kampé de Fériet (1937) La fonction hypergéométrique Mémorial des sciences mathématiques, n° 85, Gauthier-Villars, Parigi.
(EN) Erdély, Magnus, Oberhettinger, Tricomi (1953) Higher transcendental functions Vol. I, Krieger Publishing, Ristampa Mc Graw-Hill (1981), Chapter II.
(EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964): Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4, Chapter 15.
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