Legge di Benford

La distribuzione di Benford meglio nota come legge di Benford o legge della prima cifra è una distribuzione di probabilità che descrive la probabilità che un numero presente in molte raccolte di dati reali (p.es. popolazione dei comuni, quotazione delle azioni, costanti fisiche o matematiche, numero di strade esistenti nelle località) cominci con una data cifra, ad esempio "1", che secondo questa variabile casuale discreta dovrebbe essere nel 30,1% dei casi la prima cifra. La funzione di probabilità è data da

$P(n)=\log _{10}(n+1)-\log _{10}(n)=\log _{10}(1+1/n)$

prima cifra prime due cifre n P(x=n) n P(x=n) 1 30,1% 10 4,1% 2 17,6% 11 3,8% 3 12,5% 12 3,5% 4 9,7% 13 3,2% 5 7,9% 14 3,0% 6 6,7% ... ... 7 5,8% ecc. 8 5,1% ... 9 4,6% 99 0,4%

Diagramma a torta della distribuzione della prima cifra

Una delle estensioni della legge di Benford, prende in considerazione la coppia delle prime due cifre (da 10 a 99 dunque), lasciando invariata la formula, ma semplicemente modificando l'intervallo di validità da [1,9] a [10,99].

Una breve e intuitiva spiegazione del perché in "natura" accade ciò, e che quindi la cifra 1 si presenti con maggior frequenza, poi la cifra 2 e così via, è dato dal fatto che noi contiamo a iniziare dal numero 1 in avanti sino al 9. Se proviamo a pensare alle cifre da 1 a 9 è chiaro che abbiamo le stesse probabilità che una cifra inizi con 1 o 2 o 3 o 9. Se, però, prendiamo già i numeri da 1 a 20 ecco che da 11 a 19 ho molti più numeri che iniziano con la cifra 1. Se prendiamo quelli da 1 a 30 ne ho molti che iniziano con 1 ma anche con 2. Come si può facilmente notare, per avere numeri che inizino con 9, ad es, devo andare molto in là con i numeri e quindi aumento anche la quantità di quelli che inizieranno con 1 o con 2 e quindi con cifre basse, per cui in una distribuzione di numeri legati a superfici, popolazioni, sarà più alta la probabilità di averne che inizino con 1 piuttosto che con 9. La cosa comunque singolare è che Benford riuscì a far vedere che per molte distribuzioni, la probabilità che un numero inizi con una certa cifra tra 1 e 9 è sempre la stessa (30,1% per la cifra 1, 17,6% per la cifra 2, 4,6% per la cifra 9)

Storia

Scoperte, riscoperte e approfondimenti

La legge di Benford pare sia stata scoperta dal matematico e astronomo Simon Newcomb e descritta in "American Journal of Mathematics" nel 1881. Secondo quello che forse è solo un aneddoto, Newcomb notò come, nei libri con le tavole dei logaritmi, le pagine con le tabelle aventi "1" quale prima cifra fossero molto più sporche delle altre, probabilmente perché usate più spesso. Venne controargomentato che in qualsiasi libro al quale si accede alle pagine in modo sequenziale le prime sarebbero state più usate delle ultime.

Successivamente, nel 1938, il fisico Frank Benford analizzò raccolte di numeri di molti altri ambiti di applicazione e così questa legge gli venne attribuita.

Nel 1996 Ted Hill dimostrò il teorema sulle distribuzioni miste.

I dati presentati da Benford nel 1938

Titolo	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Valori
Fiumi, superfici	31,0	16,4	10,7	11,3	7,2	8,6	5,5	4,2	5,1	3,5
Popolazione	33,9	20,4	14,2	8,1	7,2	6,2	4,1	3,7	2,2	32,9
Costanti	41,3	14,4	4,8	8,6	10,6	5,8	1,0	2,9	10,6	1,4
Quotidiani	30,0	18,0	12,0	10,0	8,0	6,0	6,0	5,0	5,0	1,0
Calore specifico	24,0	18,4	16,2	14,6	10,6	4,1	3,2	4,8	4,1	13,9
Pressioni	29,6	18,3	12,8	9,8	8,3	6,4	5,7	4,4	4,7	7,3
H.P. Lost	30,0	18,4	11,9	10,8	8,1	7,0	5,1	5,1	3,6	6,0
Peso molecolare	26,7	25,2	15,4	10,8	6,7	5,1	4,1	2,8	3,2	18,0
Drenaggio	27,1	23,9	13,8	12,6	8,2	5,0	5,0	2,5	1,9	1,9
Peso atomico	47,2	18,7	5,5	4,4	6,6	4,4	3,3	4,4	5,5	91
1/n, √n	25,7	20,3	9,7	6,8	6,6	6,8	7,2	8,0	8,9	50,0
Design	26,8	14,8	14,3	7,5	8,3	8,4	7,0	7,3	5,6	5,0
Reader's Digest	33,4	18,5	12,4	7,5	7,1	6,5	5,5	4,9	4,2	3,8
Coste	32,4	18,8	10,1	10,1	9,8	5,5	4,7	5,5	3,1	7,1
X-Ray Volts	27,9	17,5	14,4	9,0	8,1	7,4	5,1	5,8	4,8	7,7
American League	32,7	17,6	12,6	9,8	7,4	6,4	4,9	5,6	3,0	14,8
Blackbody	31,0	17,3	14,1	8,7	6,6	7,0	5,2	4,7	5,4	11,5
Indirizzi	28,9	19,2	12,6	8,8	8,5	6,4	5,6	5,0	5,0	3,2
n, n², n³, …, n!	25,3	16,0	12,0	10,0	8,5	8,8	6,8	7,1	5,5	9,0
Tassi di mortalità	27,0	18,6	15,7	9,4	6,7	6,5	7,2	4,8	4,1	4,8
Media	30,6	18,5	12,4	9,4	8,0	6,4	5,1	4,9	4,7	10,1
Errore probabile	± 0,8	± 0,4	± 0,4	± 0,3	± 0,2	± 0,2	± 0,2	± 0,3

Bibliografia storica

• 1881 - Simon Newcomb, "Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers" in The American Journal of Mathematics
• 1938 - Frank Benford, "The Law of Anomalous Numbers" in Proc. Amer. Phil. Soc.
• 1961 - Roger Pinkham, "On the distribution of first significant digits" in Ann. Math. Statist.
• 1972 - Hal R. Varian, "Benford's law" in American Statistician
• 1976 - R. A. Raimi, "The first digit problem" in American Mathematical Monthly
• 1992 - Mark Nigrini, "The detection of income evasion through an analysis of digital distributions", tesi di dottorato presso l'Università di Cincinnati
• 1995 - T. P. Hill, "Base-Invariance Implies Benford's Law" in Proc. Amer. Math. Soc.
• 1996 - T. P. Hill, "The statistical derivation of the significant digit law" in Statistical Science
• 1996 - Mark Nigrini, "A taxpayer compliance application of Benford's Law" in Journal of the American Taxation Association

Esempi

Abitanti dei comuni italiani al censimento 2001

Prima cifra                  Prime due cifre
------------------------    -------------------------
n   comuni  percentuale      n   comuni  percentuale
1    2547      31,0         10    343       4,2
2    1391      16,9         11    309       3,8
3    1057      12,9         12    320       3,9
4     791       9,6         13    262       3,2
5     632       7,7         14    273       3,3
6     544       6,6         15    220       2,7
7     484       5,9         ...   ...       ...
8     406       4,9         97     24       0,3
9     365       4,4         98     30       0,4
Tot  8217     100,0         99     19       0,2

Ambiti di applicazioni e limiti

Nel 1972, Hal Varian suggerì la possibilità di utilizzare questa legge per individuare eventuali falsificazioni nelle raccolte di dati usate per supportare decisioni politiche, basandosi sul presupposto che chi vuole "addomesticare" i dati ha una preferenza a usare numeri distribuiti in modo non "naturale". Comparando la frequenza relativa delle prime cifre dei numeri usati con la v.c. di Benford si potrebbero così evidenziare risultati anomali. Alla stessa maniera si può usare questa variabile casuale per cercare falsificazioni in raccolte di dati riguardanti assicurazioni, costi, entrate, ecc.

Nel 1992 Mark Nigrini propose l'utilizzo di questa variabile casuale per testare la credibilità delle delle scritture contabili, dopo averla testato con successo su casi reali e con frode accertata.

Tuttavia è necessaria la prudenza prima di applicare la legge di Benford, in quanto solo un insieme di numeri scelti a caso da una data variabile casuale obbedisce a tale legge, mentre in un insieme di dati "reali" può, ma non deve, seguire tale legge, se sono stati imposti anche inconsapevolmente dei limiti. Per esempio mentre la distribuzione della prima cifra di statistiche quali "popolazione dei comuni italiani che cominciano con la lettera F" oppure "quotazione delle azioni che hanno subito una perdita nella giornata di borsa" si suppone seguire la v.c. di Benford, ciò non è presumibilmente più valido se la statistica viene definita in modi come "popolazione dei comuni italiani con 1000 fino 9999 abitanti".

Metodologia

Funzione di probabilità

La funzione di probabilità è

$P(x=n)=\log _{10}(n+1)-\log _{10}(n)$

Il valore atteso è E(X)=µ=3,44, la varianza pari a σ²=6,06 e l'asimmetria =0,79, nel caso che x debba essere compreso tra 1 e 9 (inclusi).

Al di là delle spiegazioni "comuni", la v.c. di Benford può essere costruita facendo ricorso a ζ la funzione zeta di Riemann (vedasi pure variabile casuale Zeta).

Teoremi e corollari

Invarianza di scala

Se un fenomeno segue la legge di Benford, allora moltiplicando tutti i valori per un numero prefissato, si ottiene una nuova raccolta di valori che seguono a loro volta la legge di Benford.

Esempio: se le quotazioni espresse in Lire delle azioni quotate in borsa seguono la legge di Benford, allora le stesse quotazioni espresse in Euro seguono anch'esse la legge di Benford.

L'invarianza di scala richiede che

$P(kx)=f(k)P(x)$

Essendo richiesto che $\int _{k}P(x)dx=1$ e che anche $\int _{k}P(kx)dx=1$ si ricava che la forma dev'essere del tipo 1/x. Effettivamente

$P(x)={\log _{10}e \over x}$ per $0,1\leq x\leq 1$

è una distribuzione continua di probabilità che produce valori casuali le cui prime cifre rispettano la legge di Benford.

Probabilità della seconda cifra

seconda cifra n P(y=n) 0 12,0% 1 11,4% 2 10,9% 3 10,4% 4 10,0% 5 9,7% 6 9,3% 7 9,0% 8 8,8% 9 8,5%

La probabilità che la seconda cifra sia n è pari a

$P(y=n)=\sum _{k=1}^{9}\log _{10}(1+1/(10k+n))$ per $n=0,1,2,...,9$

Tale formula può essere generalizzata per determinare la probabilità della terza, quarta cifra, le quali sono sempre più "equamente" distribuite (ovvero la differenza tra la prima e l'ultima tende a ridursi).

Generalizzazione a sistemi non decimali

Per un qualsiasi sistema numerico a base B, la probabilità della prima "cifra" diventa

$\ln(1+1/d)/\ln B$

dove d indica la prima "cifra" e ln il logaritmo naturale di base e (vale a dire ln=log_e)

Voci correlate

• Legge di Zipf

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