Equazione ipergeometrica

L'equazione ipergeometrica è una equazione differenziale ordinaria lineare della forma:

$z(z-1){\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\,u(z)+[c-(a+b+1)z]{\frac {d}{dz}}\,u(z)-ab\,u(z)=0$

con a, b, c e z variabili complesse o variabili formali; in genere è opportuno considerare a, b e c come parametri costanti che caratterizzano una famiglia di equazioni e di soluzioni.

Soluzioni

Generalmente questa equazione la si può facilmente ricavare dalla Equazione di Papperitz-Riemann, ma si può dimostrare che ogni equazione fuchsiana con tre punti di singolarità fuchsiane si può sempre ricondurre alla ipergeometrica. Se si riesce a padroneggiare questa riconduzione si ha il vantaggio di conoscere già le soluzioni di quest'ultima e poter ricavare facilmente le soluzioni della prima. I punti singolari sono in 0, 1 e $\,\infty \,$. Si usa spesso esprimere la soluzione tramite il simbolo P di Riemann:

$u:=P{\begin{Bmatrix}0&1&\infty \\0&0&a&z\\1-c&c-a-b&b\end{Bmatrix}}$

L'espressione esplicita di una prima soluzione $\,u_{1}\,$ si può determinare esprimendola come serie di potenze

$u_{1}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

spostando il problema all'analisi dei coefficienti di tale serie, ovvero alle soluzioni di un sistema numerabile di equazioni algebriche nelle incognite $\,c_{n}\,$.

Sostituendo e trovando una prima soluzione per i $\,c_{n}\,$ si ottiene una prima soluzione del tipo :

$u_{1}=F(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}\,k!}}z^{k}$

con $\left|z\right|<1$ e $c\neq n,n=-1,-2,-3...$; qui si sono utilizzati fattoriali crescenti come $\,(a)_{k}\,$.

In maniera analoga si può ricavare la seconda soluzione,$\,:u_{2}:\,$, linearmente indipendente da $\,:u_{1}:\,$ solo se gli esponenti (o la loro parte reale se sono complessi) non differiscono per numeri interi.

$u_{2}=(1-z)^{c-1}F(a+1-c,b+1-c;2-c;z)=(1-z)^{c-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a+1-c)_{k}\,(b+1-c)_{k}}{(2-c)_{k}\,k!}}\,z^{k}$

con $\left|z\right|<1$ e $2-c\neq n,n=0,-1,-2,-3...$ .

Nel caso in cui gli esponenti differiscano per interi si ha una seconda soluzione di tipo logaritmico:

$u_{2}=au_{1}(z)\log(z-z_{0})+(z-z_{0})^{\rho _{1}}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}(z-z_{0})^{k}$

Relazioni tra soluzioni di Equazioni Ipergeometriche

Sfruttando le proprietà di trasformazione del simbolo P di Riemann si può facilmente ricavare delle relazioni tra le soluzioni dell'Equazione Ipergeometrica. La prima che andremo ad analizzare va sotto il nome di relazione di autotrasformazione delle ipergeometriche:

$F(a,b;c;z)\,=\,(1-z)^{c-a-b}F(c-a,c-b;c;z)$

che risulta valida anche per c numero intero positivo, per motivi di continuità.

Un'altra relazione è la prima delle 5 formule di Bolza :

$F(a,b;c;z)\,=\,(1-z)^{-a}F\left(a,c-1;c;{\frac {z}{1-z}}\right)$

Derivata n-sima

Vale la seguente formula per la derivata n-esima di una funzione ipergeometrica:

${\frac {d^{n}}{dz^{n}}}F(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c_{n})}}F(a+n,b+n;c+n;z)$

Integrali Ipergeometrici

Risolvendo l'integrale complesso (integrale ipergeometrico):

$I(z)=\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt$

si ottiene il risultato :

$I(z)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a)}{\Gamma (c)}}F(a,b;c;z)$

dove $\Gamma$ denota la funzione gamma.

Questo risultato consente di vedere che la Funzione Ipergeometrica ammette la rappresentazione integrale (di Euler):

$F(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a}{\Gamma (c)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt$ .

Inoltre utilizzando quest'ultima relazione si ricava facilmente il valore della funzione ipergeometrica nel punto $\,z=1\,$:

$F(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}$

Vadi anche

• Equazione ipergeometrica confluente
• Serie ipergeometrica
• Identità per funzioni ipergeometriche

Bibliografia

• (FR) Edouard Goursat Leçons sur les séries hypergéométriques et sur quelques fonctions qui s'y rattachent (Hermann, Parigi, 1936)
• Erdély, Magnus, Oberhettinger, Tricomi (1953) Higher transcendental functions Vol. I, Krieger Publishing, Ristampa Mc Graw-Hill (1981), Chapter II.
• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964): Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York. ISBN 486-61272-4, Chapter 15.
• G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy (1999): Special functions, Cambridge University Press, Chapter 2.
• Cesare Rossetti (1975): Metadi matematici per la fisica, Libreria Editrice Universitaria Levrotto & Bella, Torino, Capitolo 9.