使用Java进行Octave风格脚本编程

# 使用 Java 进行 Octave 风格脚本编程 ## 1. 方程求解 ### 1.1 线性方程组 线性方程组在数学上可表示为 \(A \cdot z = b\)，其中 \(z\) 是待求解的解。在 Java 中，可以使用 `linsolve(A,b)` 函数来求解线性方程组，其中 \(A\) 是方程组的方阵，\(b\) 是表示方程右侧的（行或列）向量。 例如，求解以下方程组： ```plaintext x - 2y + 1 = 7 2x - 2y + z = 4 -3x + 2y - 2z = -12 ``` 对应的代码如下： ```plaintext A = [1 -2 1; 2 -2 1; -3 2 -2;] b = [7; 4; -12] a = linsolve(A,b) printf('%f',a) ``` 预期解为 \(x = -3\)，\(y = -0.5\)，\(z = 11\)。若要使用 LAPACK 库，可将 `linsolve(A,b)` 替换为 `linsolve2(A,b)`。 符号引擎还可以处理包含精确或符号元素的矩阵。为避免舍入误差，建议尽可能使用精确数字。例如，求解包含两个符号变量 \(x\) 和 \(y\) 的四个方程的系统： ```plaintext syms x,y A = [x ,1 , -3 , -2; 1 2 3*y 4; 1 5 2 0; 9 1 6 0;] printf('%f\n',A) b = [1 -2 1 2] a = trigrat(linsolve(rat(A),b)) printf('%f\n',a) ``` ### 1.2 非线性方程 非线性方程可以使用 `solve(exp,x)` 函数求解，其中 `exp` 是符号表达式，\(x\) 是符号变量。表达式可以由三角函数构造。 以下是一些示例： ```plaintext syms x,b a = solve(x^2 - 1 ,x) printf("%f",a) a = solve(x^2 - 2*x*b + b^2,x) printf("%f",a) ``` 第一个方程的解为 `[1,1]`，第二个方程的解为 `b`。 再看一个由多个三角函数构造的示例： ```plaintext syms x a = float(solve(sin(x)^2 + 2 * cos(x) - 0.5 ,x)) printf("%f",a) ``` 解得：`[1.438 i -1.438i -1.7975 1.7975]` ### 1.3 方程组 耦合方程组可以使用 `algsys(exp, vars)` 函数求解，其中 `exp` 是实际表达式，`vars` 是符号变量列表。 | 方法名(参数) | 功能 | | --- | --- | | `algsys([var1, var2, ...], [sym1, sym2, ...])` | 求解方程组 `var1 = 0, var2 = 0, ...` 关于 `sym1, sym2, ...` 的解 | | `linlstsq(matrix, vector)` | 求解 `matrix · x = vector` 关于 `x` 的解，适用于超定系统（使用 LAPACK） | | `linsolve2(matrix, vector)` | 求解 `matrix · x = vector` 关于 `x` 的解（使用 LAPACK） | | `linsolve(matrix, vector)` | 求解 `matrix · x = vector` 关于 `x` 的解 | | `solve(x, Sym)` | 求解 `var = 0` 关于 `Sym` 的解 | | `subst(varx, vary, varz)` | 在 `varz` 中用 `varx` 替换 `vary` | | `trigexp(x)` | 三角展开 | | `trigrat(x)` | 三角和其他简化 | 例如，求解以下方程组： ```plaintext 2 - a0 = a2 a1 - 10 = a1 a2 * xs^2 + a1 * xs + a0 - 3 - xs = a0 2 * a2 * xs + a1 + 1 = xs ``` 代码如下： ```plaintext syms xs ,a0 ,a1 ,a2 exp = [2 - a0 ,a1 - 10 , a2*xs^2 + a1*xs + a0 - 3 - xs ,2*a2*xs + a1 + 1] a = algsys(exp ,[a2 ,a1 ,a0 ,xs ]) printf("%f\n",a) ``` 解得：`[[xs - 2/7 a2 + 77/4 a0 - 2 a1 - 10]]`，即 \(xs = 2/7\)，\(a2 = -77/4\)，\(a0 = 2\)，\(a1 = 10\)。 另一个有两个解的示例： ```plaintext syms a,xs a = algsys([a*xs + 3*a - (3 - xs^2) ,a + 2*xs ],[a,xs ]) printf("%f\n",float(a)) ``` 答案为： ```plaintext [[xs + 0.55051 a - 1.101] [xs + 5.4495 a - 10.899]] ``` ### 1.4 微分方程 一阶线性微分方程可以写成 \(y' = f(x) \cdot y + g(x)\) 的形式，可以使用 `ode(exp,y,x)` 方法求解，其中 `exp` 是描述方程右侧的实际表达式，\(x\) 和 \(y\) 是符号变量。 例如，求解 \(y' = 5y - 3\)： ```plaintext syms x,y,C a = ode(5*y - 3,y,x) printf("%f",a) ``` 答案为 \(C \cdot exp(5 \cdot x) + 0.6\)。 再如，求解 \(y' = -ky\)（\(k\) 为常数）： ```plaintext syms x,y,k,C a = ode(-k*y,y,x) printf("%f",a) ``` 答案为 \(C \cdot exp(-k \cdot x)\)。 还有 \(y' = y \tan(x) + k\)： ```plaintext syms x,y,k a = ode(y*tan(x) + k,y,x) printf("%f",a) ``` 解为 \((k \cdot \sin(x) + C) / \cos(x)\)。 ## 2. 统计计算 ### 2.1 描述性统计 描述性统计可以提供向量和矩阵形式的数据的简单摘要。 #### 向量的统计计算 计算向量的均值、方差和标准差： ```plaintext v = [1 ,10 ,20 ,2 ,4 ,7 ,4 ,3] a = mean(v); printf(" ```