面向对象的OLAP多维数据模型

# 面向对象的 OLAP 多维数据模型 ## 1. 引言 数据仓库和在线分析处理（OLAP）是决策支持的重要组成部分，它们能帮助商业决策者创造性地处理、分析和理解商业问题。数据仓库用于存储大量的集成数据，辅助决策过程；而 OLAP 则支持对多维数据进行动态合成、分析和整合。 OLAP 系统通常使用多维范式将数据组织成数据立方体，每个立方体由多个维度和多个层次组成。汇总数据会预先聚合和存储，主要目的是探索维度（独立、静态变量）和度量（依赖、动态变量）之间的关系。维度具有结构，包含一个或多个自然层次结构，以及一些与其他属性无层次关系的属性。维度中的预定义层次结构为“上卷”和“下钻”等操作提供了基础。 然而，目前的两种 OLAP 技术，即关系型 OLAP（ROLAP）和多维 OLAP（MOLAP），在处理具有不平衡和多层次结构的维度时存在局限性。ROLAP 产品基于现有的关系数据库管理系统（RDBMS），维度和事实被映射到关系表中，但在处理复杂维度结构时不太合适，且现有的关系查询语言（如 SQL）在支持真正的 OLAP 功能方面不够强大和灵活。MOLAP 虽然能轻松支持具有多层次和不平衡结构的维度，查询功能强大且灵活，但在支持多个主题领域和提供详细数据访问方面存在限制，并且可能会因维度爆炸导致物理数据库难以管理。 本文的目标是引入一个概念性的多维数据模型，用于精确严谨地概念化 OLAP。该模型能够表示和捕捉维度内成员之间的自然层次关系，以及维度成员与度量数据值之间的关系。同时，正式引入数据立方体及其操作符，并使用统一建模语言（UML）在面向对象数据库的上下文中对概念性多维模型进行建模。 ## 2. 相关工作 自 1993 年 Codd 提出 OLAP 这一术语以来，市场上出现了许多商业产品，但当时缺乏完善的概念。科学界一直在努力为多维数据模型提供一个通用的基础，目前提出的数据模型在表达能力、复杂性和形式化方面存在差异。以下是一些相关研究工作的总结： - **基于关系元素的多维数据模型**：将维度建模为“维度关系”，立方体建模为从维度的笛卡尔积到度量的函数，并通过适用性定义映射到“分组关系”。 - **n 维表的定义和关系映射**：通过完成符号提供关系映射，多维数据库被视为由一组形成非规范化星型模式的表组成，属性层次结构通过在维度表的属性中引入函数依赖来建模。 - **通过维度和 f - 表建模多维数据库**：维度由维度层次结构构建，f - 表用于存储事实数据，数据通过一组上卷函数进行特征化。 - **统计数据库和多维数据库的比较**：从应用领域、概念建模、数据结构表示、操作、物理组织方面和隐私问题等方面进行比较。 - **面向对象 OLAP 的框架**：介绍了 ROLAP 和 MOLAP 的优缺点，并提出了另一种物理实现 O3LAP 模型。 - **基于面向对象范式的经典多维模型**：基本元素包括维度类和事实类，并提出了立方体类作为后续数据分析的基本结构。 本文的主要贡献包括：引入正式的多维数据模型；以优雅的方式定义三个立方体操作符（跳跃、上卷和下钻）；使用 UML 对概念性多维数据模型进行类建模。 ## 3. 概念性数据模型 多维数据模型基于一组维度 \(d = \{d_1, d_2, \cdots, d_x\}\)、一组度量 \(m = \{m_1, m_2, \cdots, m_y\}\) 和一组数据立方体 \(C = \{C_1, C_2, \cdots, C_n\}\) 构建。以下将正式介绍维度、度量和数据立方体的相关概念。 ### 3.1 维度的概念 #### 3.1.1 维度层次域 维度 \(D\) 的层次域是一个非空集合，记为 \(GRP(D)\)，其中每个维度成员是维度内的数据项。例如，在时间维度中，1999、Q1.1999、Jan.1999 等都是维度成员。该集合上的二元关系所表示的图是一棵树，并且定义了两个操作符 \(\{+,-\}\) 用于表示成员之间的层次关系。同时，存在一个根成员（如“all”）和叶成员。 示例：对于时间维度，\(dom(Time) = \{all, 1999, Q1.1999, \cdots, 3.Mar.1999\}\)，\(-(1999) = all\)；\(+(1999) = \{Q1.1999, W1.1999, W5.1999, W9.1999\}\)。 #### 3.1.2 维度级别 维度 \(D\) 的级别集合是一个有限集，该集合的子集构成了 \(dom(D)\) 的一个划分。存在一个根级别（如“All”）和叶级别。 示例：时间维度有三个级别 \(Levels(Time) = \{All, Year, Quarter, Month, Week, Day\}\)，且 \(dom(All) = \{all\}\)，\(dom(Year) = \{1999\}\) 等。 #### 3.1.3 维度模式 维度 \(D\) 的模式 \(DSchema(D)\) 是一个部分有序的级别集合，其中级别集合是有限的，并且级别之间存在一个有序关系，满足特定条件。 示例：产品、地理和时间三个维度的模式如下： | 维度 | 模式 | | ---- | ---- | | 产品 | \(DSchema(Product) = \{All \prec Category, Category \prec Type, Type \prec Item\}\) | | 地理 | \(DSchema(Geography) = \{All \prec Country, Country \prec State, State \prec City\}\) | | 时间 | \(DSchema(Time) = \{All \prec Year, Year \prec Quarter, Quarter \prec Month, Month \prec Day; All \prec Year, Year \prec Week, Week \prec Day\}\) | #### 3.1.4 维度路径 维度模式内的路径是一个线性、全序的级别列表，可以根据级别之间的关系进行定义。 #### 3.1.5 维度层次结构 维度层次结构由维度模式内的一条路径定义，该路径从根级别（All）开始，到叶级别结束。如果一个维度只有一个层次结构，则为单层次结构；否则为多层次结构。 #### 3.1.6 维度操作符 两个维度操作符“祖先”（ancestor）和“后代”（descendant）通过递归方式定义，用于在维度结构中导航。 示例：\(ancestor(Q1.1999, Year, Time) = 1999\)，\(descendant(Q1.1999, Month, Time) = \{Jan.1999, Feb.1999, Mar.1999\}\)。 ### 3.2 度量的概念 #### 3.2.1 度量模式 度量 \(M\) 的模式 \(MSchema(M)\) 是一个元组 \((Fname, Op)\)，其中 \(Fname\) 是对应事实的名称，\(Op\) 是应用于特定事实的操作类型，包括聚合函数（如 SUM、COUNT、MAX、MIN）、复合操作（如平均）和无聚合操作。 #### 3.2.2 度量域 度量值定义在一个数值域 \(I\) 中，度量 \(M\) 的域是 \(I\) 的一个子集，记为 \(dom(M)\)。 ### 3.3 数据立方体的概念 多维立方体基于一组维度和一组度量构建，由一组单元格组成。每个单元格是一组维度成员和度量数据值的交集，单元格被分组到粒度分组中，每个分组表示从维度级别元组的域（自变量）到数值度量元组的数值域（因变量）的映射。 #### 3.3.1 立方体模式 立方体 \(