基于身份加密算法：Boneh-Boyen与Sakai-Kasahara方案详解

### 基于身份加密算法：Boneh - Boyen与Sakai - Kasahara方案详解 在当今数字化时代，信息安全至关重要，基于身份的加密（Identity - Based Encryption，IBE）算法为数据保护提供了强大的工具。本文将详细介绍两种重要的IBE算法：Boneh - Boyen IBE和Sakai - Kasahara IBE。 #### 1. Boneh - Boyen IBE算法 Boneh - Boyen IBE算法分为基本方案和完整方案，下面分别进行介绍。 ##### 1.1 基本方案（乘法表示法） 基本方案使用发送者和接收者都能计算的共享秘密来加密明文消息。发送者根据公共参数和接收者的身份计算共享秘密，接收者则根据其私钥和密文计算共享秘密。 - **参数设置** - 首先需要一个安全参数，用于定义加密的比特强度。 - 选择一个椭圆曲线 $E/ \mathbb{F}_q$，其嵌入度为 $k$，并选择一个素数 $p$，使得 $p | \#E(\mathbb{F}_q)$。 - 随机选择一个点 $P \in E(\mathbb{F}_q)[p]$，令 $G_1 = \langle P \rangle$ 和 $G_T = \langle \hat{e}(P, P) \rangle$，它们是阶为 $p$ 的循环群。 - 需要两个密码哈希函数：$H_1 : \{0, 1\}^* \to \mathbb{Z}_p$ 用于将身份字符串映射为整数，$H_2 : G_T \to \{0, 1\}^n$ 用于将 $G_T$ 中的元素哈希成可与明文消息组合的形式。 - 三个整数 $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z}_p$ 是主密钥，用于计算三个额外的公共参数 $\alpha P, \beta P, \gamma P$。 - 还有一个额外的常数 $v = \hat{e}(g_1, g_2) = \hat{e}(g^{\alpha}, g^{\beta}) = \hat{e}(g, g)^{\alpha \beta}$，假设它是公共参数的一部分。 | 元素 | 类型 | 注释 | | ---- | ---- | ---- | | $q$ | 素数幂 | 有限域 $\mathbb{F}_q$ 的阶 | | $E/ \mathbb{F}_q$ | 椭圆曲线 | $E(\mathbb{F}_q)$ 具有嵌入度 $k$ | | $p$ | 素数 | $p | \#E(\mathbb{F}_q)$ | | $G_1$ | 循环群 | $E(\mathbb{F}_q)$ 的子群，$G_1 = \langle g \rangle$ | | $G_T$ | 循环群 | $\mathbb{F}_{q^k}^*$ 的子群，$G_T = \langle \hat{e}(g, g) \rangle$ | | $\hat{e}$ | 配对 | $\hat{e} : G_1 \times G_1 \to G_T$ | | $n$ | 正整数 | 明文长度（比特） | | $g$ | 椭圆曲线上的点 | $g \in G_1$ | | $g_1$ | 椭圆曲线上的点 | $g_1 = g^{\alpha}$ | | $g_2$ | 椭圆曲线上的点 | $g_2 = g^{\beta}$ | | $g_3$ | 椭圆曲线上的点 | $g_3 = g^{\gamma}$ | | $H_1$ | 密码哈希函数 | $H_1 : \{0, 1\}^* \to \mathbb{Z}_p$ | | $H_2$ | 密码哈希函数 | $H_2 : G_T \to \{0, 1\}^n$ | | $v$ | $\mathbb{F}_{q^k}^*$ 的元素 | $v = \hat{e}(P_1, P_2) = \hat{e}(\alpha P, \beta P) = \hat{e}(P, P)^{\alpha \beta}$ | 主密钥： | 元素 | 类型 | 注释 | | ---- | ---- | ---- | | $\alpha, \beta, \gamma$ | 整数 | $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{Z}_p$ | - **私钥提取** - 计算 $q_{ID} = H_1(ID)$，将身份映射为整数。 - 生成一个随机的用户值 $r \in \mathbb{Z}_p$。 - 计算私钥的两个分量：$d_{ID} = (g_1^{q_{ID} + r} g_2^{\alpha} g_3^r, g^r) = (d_0, d_1)$。 - **加密过程** 1. 计算 $q_{ID} = H_1(ID)$。 2. 随机选择 $s \in \mathbb{Z}_p$。 3. 计算 $k = v^s$。 4. 计算 $c = M \oplus H_2(k)$。 5. 计算 $c_0 = g^s$。 6. 计算 $c_1 = g_1^{q_{ID} + s} g_3^s$。 7. 设置密文 $C = (c, c_0, c_1)$。 - **解密过程** 1. 计算 $k = \frac{\hat{e}(c_0, d_0)}{\hat{e}(c_1, d_1)}$。 2. 计算 $M = c \oplus H_2(k)$。 ##### 1.2 完整方案 基本方案容易受到选择密文攻击，完整方案通过引入额外的哈希函数 $H_3 : G_T \times \{0, 1\}^n \times G_1 \times G_1 \to \mathbb{Z}_p$ 来增强安全性，使其能够抵抗选择密文攻击和自适应选择身份攻击。 - **参数设置** - 在基本方案的参数基础上，增加哈希函数 $H_3$。 - 公共参数为 $BB1params = (G_1, G_T, \hat{e}, n, g, g_1, g_3, H_1, H_2, H_3, v)$。