几乎周期雅可比矩阵的研究与应用

### 几乎周期雅可比矩阵的研究与应用 #### 1. 几乎周期序列与一般结果 几乎周期哈密顿量与随机哈密顿量有许多共同之处。对于有界实值序列 $\{c(n)\}_{n\in Z}$，定义 $c^{(m)}$ 为序列 $\{c(n - m)\}_{n\in Z}$。若集合 $\Omega_0 = \{c^{(m)}|m\in Z\}$ 在 $\ell^{\infty}$ 中有紧致闭包，则序列 $c$ 称为几乎周期序列，$\Omega_0$ 的闭包称为 $c$ 的包络。 构造几乎周期序列的一种方法是：取连续周期函数 $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，周期为 1。可以将 $F$ 视为环面 $\mathbb{T} = \{\exp(2\pi ix)|x\in[0, 1)\}$ 上的函数。选择实数 $\alpha$，定义 $F^{(\alpha)}(n) := F(\alpha n)$。若 $\alpha \notin \mathbb{Q}$，$F^{(\alpha)}$ 作为 $\mathbb{Z}$ 上的函数不是周期函数，但它是几乎周期序列。 定义 $d$ 维环面 $\mathbb{T}^d$ 为集合 $\{(\exp(2\pi ix_1), \cdots, \exp(2\pi ix_d))|(x_1, \cdots, x_d)\in [0, 1]^d\}$。若 $(1, \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_d)$ 在有理数 $\mathbb{Q}$ 上独立，则集合 $\{[\exp(2\pi i\alpha_1 n), \exp(2\pi i\alpha_2 n), \cdots, \exp(2\pi i\alpha_d n)]|n\in\mathbb{Z}\}$ 在 $\mathbb{T}^d$ 中稠密。 对于任意几乎周期序列 $C$，在 $\Omega_0 = \{C^{(m)}|m\in Z\}$ 上定义运算 $\circ$：$C^{(m)} \circ C^{(m')} := C^{(m + m')}$。通过 $\Omega_0$ 在包络 $\Omega$ 中的稠密性，该运算可唯一扩展到 $\Omega$ 上，使 $\Omega$ 成为紧致拓扑群。每个紧致拓扑群 $\Omega$ 都有唯一的贝尔测度 $\mu$，满足 $\int f(gg')d\mu(g') = \int f(g')d\mu(g')$ 且 $\mu(\Omega) = 1$，此不变测度称为哈尔测度。 以下是相关性质总结： |性质|描述| | ---- | ---- | |几乎周期序列定义|集合 $\Omega_0 = \{c^{(m)}|m\in Z\}$ 在 $\ell^{\infty}$ 中有紧致闭包| |环面定义|$\mathbb{T}^d = \{(\exp(2\pi ix_1), \cdots, \exp(2\pi ix_d))|(x_1, \cdots, x_d)\in [0, 1]^d\}$| |哈尔测度性质|$\int f(gg')d\mu(g') = \int f(g')d\mu(g')$ 且 $\mu(\Omega) = 1$| #### 2. 几乎马蒂厄方程与奇异连续谱的出现 考虑一维几乎周期势： $V_0(n) = \sum_{k = 1}^{K} a_k \cos [2\pi k(\alpha n + \theta)]$ 当 $k = 1$ 时，对应的离散薛定谔方程称为几乎马蒂厄方程。 **定理 1（赫尔曼）**：若 $\alpha \notin \mathbb{Q}$，则对应于上述势的李雅普诺夫指数 $\gamma$ 满足 $\gamma(E) \geq \ln(\frac{|a_K|}{2})$。 - 若 $\alpha$ 为无理数且 $|a_K| > 2$，根据定理可知，对于几乎所有的 $\theta$，$H_{\theta} := H_0 + V_0$ 没有绝对连续谱。 - 在赫尔曼之前，安德烈和奥布里给出了 $K = 1$ 情况的另一种证明。 **定理 2（戈登）**：设 $V(n)$ 和 $V_m(n)$（$m\in\mathbb{N}$）是 $\mathbb{Z}$ 上的有界序列，满足： - $V_m$ 是周期序列，周期 $T_m \to \infty$。 - $\sup_{m,n}|V_m(n)| < \infty$。 - $\sup_{|n|\leq 2T_m}|V_m(n) - V(n)| \leq m^{-T_m}$。 则 $(H_0 + V)u = Eu$ 的任何非零解 $u$ 满足 $\lim_{|n|\to\infty} \frac{