雷达信号序列设计与模糊函数特性研究

# 雷达信号序列设计与模糊函数特性研究 ## 1. 停止带 CAN（SCAN）算法 ### 1.1 设计准则与矩阵构建 在信号设计中，我们关注两个关键方面：频谱带抑制和相关旁瓣抑制。为简化表示，仅考虑归一化频率（从 0 到 1 Hz）。假设序列 $\{x(n)\}_{n = 1}^{N}$ 需避开的频率集合可表示为： $\Omega = \bigcup_{k = 1}^{N_s} (f_{k1}, f_{k2})$ 其中，$(f_{k1}, f_{k2})$ 标识一个停止带，$N_s$ 为停止带的数量。对于集合 $\Omega$，选择一个足够大的 $\tilde{N}$，使得离散傅里叶变换（DFT）频率网格 $\{\frac{p}{\tilde{N}}\}_{p = 0}^{\tilde{N}-1}$ 能密集覆盖 $\Omega$。$\tilde{N} \times \tilde{N}$ 的 DFT 矩阵 $F_{\tilde{N}}$ 的 $(k, l)$ 元素为： $[F_{\tilde{N}}]_{kl} = \frac{1}{\sqrt{\tilde{N}}} \exp \left(j \frac{2\pi kl}{\tilde{N}} \right), k, l = 0, \ldots, \tilde{N}-1$ 系数 $\frac{1}{\sqrt{\tilde{N}}}$ 使 $F_{\tilde{N}}$ 成为酉矩阵。从 $F_{\tilde{N}}$ 中选取与 $\Omega$ 中频率对应的列构成矩阵 $S$，剩余列构成矩阵 $G$。 ### 1.2 频谱功率抑制问题 为抑制 $\{x(n)\}$ 在 $\Omega$ 中的频谱功率，可最小化准则： $\|S^H \tilde{x}\|^2$ 其中，$\tilde{x} = [x(1) \cdots x(N) 0 \cdots 0]_{(\tilde{N}-N)}^{T}$。若 $\tilde{x}$ 位于 $S^H$ 的零空间，则上述准则为零。由于 $S^H$ 的零空间由 $G$ 的列张成，该最小化问题可等价表述为： $\min_{x, \alpha} J_1(x, \alpha) = \|\tilde{x} - G\alpha\|^2$ 约束条件为 $|x(n)| = 1, n = 1, \ldots, N$，其中 $x = [x(1) \cdots x(N)]^T$，$\alpha$ 为辅助变量向量。 ### 1.3 自相关旁瓣抑制问题 自相关旁瓣抑制问题可通过求解以下问题解决： $\min_{x, v} J_2(x, v) = \left\|F_{2N}^H \begin{bmatrix} x \\ 0_{N \times 1} \end{bmatrix} - v \right\|^2$ 约束条件为 $|x(n)| = 1, n = 1, \ldots, N$，$|v_n| = \frac{1}{\sqrt{2}}, n = 1, \ldots, 2N$，其中 $F_{2N}$ 是 $2N \times 2N$ 的 DFT 矩阵，$x = [x(1) \cdots x(N)]$，$v$ 为辅助变量。 ### 1.4 综合最小化问题 结合频谱功率抑制和自相关旁瓣抑制问题，得到综合最小化问题： $\min_{x, \alpha, v} J(x, \alpha, v) = \lambda \|\tilde{x} - G\alpha\|^2 + (1 - \lambda) \left\|F_{2N}^H \begin{bmatrix} x \\ 0_{N \times 1} \end{bmatrix} - v \right\|^2$ 约束条件为 $|x(n)| = 1, n = 1, \ldots, N$，$|v_n| = \frac{1}{\sqrt{2}}, n = 1, \ldots, 2N$，其中 $0 \leq \lambda \leq 1$ 控制两个惩罚函数 $J_1$ 和 $J_2$ 的相对权重。 ### 1.5 SCAN 算法步骤 SCAN 算法通过依次最小化 $J(x, \alpha, v)$ 中的变量并迭代来求解上述问题，具体步骤如下表所示： |步骤|操作|公式| |----|----|----| |0|初始化|用随机生成的单模序列初始化 $\{x(n)\}_{n = 1}^{N}$| |1|固定 $x$ 和 $v$，求 $\alpha$ 的最小值|$\alpha = G^H \tilde{x}$| |2|固定 $x$ 和 $\alpha$，求 $v$ 的最小值|$v = \frac{1}{\sqrt{2}} \exp \left(j \arg \left(F_{2N}^H \begin{bmatrix} x^T & 0_{1 \times N} \end{bmatrix}^T \right) \right)$| |3|固定 $\alpha$ 和 $v$，求 $x$ 的最小值|$x = \exp \left(j \arg [\lambda c_1 + (1 - \lambda) c_2] \right)$，其中 $c_1$ 为 $G\alpha$ 的前 $N$ 个元素，$c_2$ 为 $F_{2N}v$ 的前 $N$ 个元素| |迭代|重复步骤 1 - 3|直到收敛（例如，两次连续迭代得到的 $x$ 的范数差小于预定义阈值，如 $10^{-3}$）| ### 1.6 峰值平均功率比约束 更一般的约束是对发射序列的峰值平均功率比（PAR）进行约束。若允许 PAR 大于 1，SCAN 算法基本保持不变，只是步骤 3 中 $x$ 的最小值由以下问题的解给出： $\min_{x} \|x - [\lambda c_1 + (1 - \lambda) c_2]\|^2$ 约束条件为 $PAR(x) \leq \rho$，其中 $1 \leq \rho \leq N$ 是规定的最大允许 PAR。 ## 2. 加权 SCAN（WeSCAN）算法 ### 2.1 加权集成旁瓣电平（WISL）指标 SCAN 算法中，最小化 $J_2$ 可降低集成旁瓣电平（ISL）指标： $ISL = 2 \sum_{k = 1}^{N - 1} |r(k)|^2$ 更一般的加权 ISL（WISL）指标为每个相关项 $r(k)$ 关联一个权重 $\gamma_k^2$： $WISL = 2 \sum_{k = 1}^{N - 1} \gamma_k^2 |r(k)|^2$ 权重 $\{\gamma_k\}$ 可根据需求选择，例如，可设置 $\gamma_1 = 0, \gamma_2 = 0$ 且 $\gamma_k = 1$ （$k = 3, \ldots, N - 1$）以牺牲相关主瓣宽度来抑制旁瓣。 ### 2.2 加权矩阵与最小化问题 定义加权矩阵 $\Gamma$： $\Gamma = \frac{1}{\gamma_0} \begin{bmatrix} \gamma_0 & \gamma_1 & \cd