FFC与FErari：有限元形式编译与优化

# FFC与FErari：有限元形式编译与优化 在有限元方法中，形式编译和优化是提高计算效率的关键步骤。本文将介绍FFC（FEniCS form compiler）和FErari这两个重要工具，包括它们的编译流程、形式表示、优化策略以及性能评估。 ## 一、FFC编译流程 FFC的编译过程可以分为多个阶段，每个阶段都有特定的输入和输出。以下是FFC编译的主要阶段： 1. **输入预处理UFL形式和形式元数据**：这是编译的起始点，提供了需要处理的UFL形式和相关元数据。 2. **生成中间表示（IR）**：将输入的UFL形式转换为中间表示，存储为字典，将UFC函数名映射到生成相应代码所需的数据。 3. **优化阶段**：对中间表示进行优化，可能涉及基于FErari的优化或符号优化，输出优化后的中间表示（OIR）。 4. **代码生成**：根据优化后的中间表示生成实际的C++代码，存储为字典，将UFC函数名映射到包含C++代码的字符串。 5. **代码格式化**：将生成的C++代码按照UFC格式进行格式化，生成符合UFC规范的一个或多个.h/.cpp文件。 下面是FFC编译流程的mermaid流程图： ```mermaid graph LR A[输入预处理UFL形式和元数据] --> B[生成中间表示（IR）] B --> C[优化阶段（生成OIR）] C --> D[代码生成（C++代码）] D --> E[代码格式化（.h/.cpp文件）] ``` ## 二、形式表示 FFC支持两种不同的代码生成方法：基于传统求积的表示和特殊张量表示。 ### 2.1 求积表示 求积表示通过选项`-r quadrature`选择。该方法通过对积分点进行循环，并将每个点的贡献累加到局部元素张量$A_T$中。在代码生成过程中，FFC调用FIAT来计算有限元基函数及其导数在参考元素上一组合适求积点的值，然后生成计算UFL AST定义的被积函数在这些求积点上加权平均值的代码。 ### 2.2 张量表示 当使用`-r tensor`选项调用FFC时，它会尝试提取给定UFL形式的单项式表示，即将给定形式重写为基函数及其导数的乘积之和。如果转换成功，FFC会计算张量表示$A_T = A_0 : G_T$，其中$A_0$是参考张量，通过调用FIAT计算得到。然后生成计算元素张量的代码，元素张量的每个条目通过计算几何张量$G_T$与参考张量的特定切片的内积得到。如果转换不成功，FFC将回退到使用求积表示。 ### 2.3 自动选择表示 如果用户未指定使用哪种表示，FFC将尝试自动选择“最佳”表示，即被认为能产生最佳运行时性能的表示。一般来说，形式越复杂（导数数量和函数乘积数量越多），求积表示越可能更合适。具体策略是，FFC首先尝试生成张量表示，如果失败则选择求积表示；如果张量表示生成成功，会检查每个单项式，如果系数和导数的数量大于3，则选择求积表示。 ## 三、优化策略 FFC的优化阶段旨在提高生成代码计算局部有限元张量的运行时效率。优化适用于求积和张量两种表示，都作用于第二阶段生成的中间表示，输出用于代码生成阶段的新指令集（优化后的中间表示）。 ### 3.1 张量表示优化 对于张量表示，FFC依赖Python模块FErari进行优化。当启用优化（使用`-O`选项）时，标准的$A_0 : G_T$代码生成器将被绕过，参考张量$A_0$将传递给FErari。FErari首先计算一个图，指示$A_T$元素之间的关系，然后通过拓扑排序对图进行排序，最后FFC使用边注释生成计算$A_T$每个条目的直线代码。 ### 3.2 求积表示优化 求积表示的优化策略作为FFC模块的一部分实现。可以通过命令行选项`-f eliminate_zeros`、`-f simplify_expressions`、`-f precompute_ip_const`和`-f precompute_basis_const`或在Python接口中设置相应参数为`True`来选择优化策略。`-f eliminate_zeros`可以与其他三个选项中的任何一个组合，而`-f simplify_expressions`、`-f precompute_ip_const`和`-f precompute_basis_const`一次只能启用一个，且优先级依次降低。如果只指定`-O`，默认启用`-f eliminate_zeros`和`-f simplify_expressions`。 ## 四、即时编译 FFC还可以用作即时（JIT）编译器。在脚本环境中，可以将UFL对象传递给FFC，FFC将返回Python模块。调用JIT编译器涉及调用FFC Python模块中的`jit`函数： ```python (compiled_object, compiled_module, form_data, prefix) \ = jit(ufl_object, parameters=None, common_ce ```