随机闭集成员与Demuth随机性的低性研究

### 随机闭集成员与Demuth随机性的低性研究 在数学领域，随机闭集成员的特征以及不同类型的随机性研究是非常重要的课题。下面将深入探讨随机闭集成员的相关性质以及Demuth随机性的低性特点。 #### 随机闭集成员的特征 对于随机闭集成员的研究，涉及到多个重要的概念和定理。 ##### 概率不等式与相关集合 首先，存在如下概率不等式： \[P(AG(\ell, L) \neq AG(\ell)) \leq \sum_{\sigma\in\{0,1\}^\ell} P\{E_\sigma \& F_\sigma\} = \sum_{\sigma\in\{0,1\}^\ell} P\{E_\sigma | F_\sigma\} \cdot P\{F_\sigma\} \leq \sum_{\sigma\in\{0,1\}^\ell} P\{E_\sigma | F_\sigma\} \leq \sum_{\sigma\in\{0,1\}^\ell} e^m \leq \sum_{\sigma\in\{0,1\}^\ell} 2^{-n}2^{-2\ell}= 2^{-n}2^{-\ell}\] 进而可得： \[PX_n \leq \sum_{\ell} P\{AG(\ell, L) \neq AG(\ell)\} \leq \sum_{\ell} 2^{-n}2^{-\ell}= 2^{-n}\] 这里，\(X_n\) 是 \(\Sigma^0_1\) 集合，因为当 \(L\) 被定义时，\(AG(\ell)\) 包含于 \(AG(\ell, L)\)，且 \(AG(\ell)\) 在 \(G\) 中是 \(\Pi^0_1\) 的。这意味着如果包含关系是真包含，那么我们最终可以枚举（观察）到这个事实。所以，\(\cap_n X_n\) 是一个 \(\lambda_{1,\gamma}\) - ML - 零测集。同样，\(V_n\) 显然是 \(\Sigma^0_1\) 的，并且 \(V_n \subseteq \Upsilon_n \cup X_n\)，所以 \(\lambda_{1,\gamma}(V_n) \leq 2 \cdot 2^{-n}\)，因此 \(\cap_n V_n\) 也是一个 \(\lambda_{1,\gamma}\) - ML - 零测集。 ##### 随机闭集成员的随机性概念 - **γ - 权重**：对于一个字符串集合 \(C \subseteq \Omega\)，其 \(\gamma\) - 权重 \(wt_\gamma(C)\) 定义为 \(wt_\gamma(C) = \sum_{w\in C} 2^{-|w|\gamma}\)。 - **Martin - L¨of (ML - )γ - 测试**：是一个一致的 \(\Sigma^0_1\) 序列 \((U_n)_{n<\omega}\)，\(U_n \subseteq \Omega\)，使得对于所有的 \(n\)，\(wt_\gamma(U_n) \leq 2^{-n}\)。 - **强 ML - γ - 测试**：是一个一致的 \(\Sigma^0_1\) 序列 \((U_n)_{n<\omega}\)，使得对于每个 \(n\) 和每个前缀自由的字符串集合 \(V_n \subseteq U_n\)，\(wt_\gamma(V_n) \leq 2^{-n}\)。 - **γ - 随机与强 γ - 随机**：一个实数是（强）γ - 随机的，如果它不属于任何（强）ML - γ - 测试 \((U_n)_{n<\omega}\) 的 \(\cap_n [U_n]_{\preceq}\)。当 \(\gamma = 1\) 时，我们简单地说这个实数，或者整数集合 \(\{n : x(n) = 1\}\) 是 Martin - L¨of 随机（ML - 随机）的。 - **Hippocrates μ - 随机**：对于一个测度 \(\mu\) 和一个实数 \(x\)，如果对于每个一致的 \(\Sigma^0_1\) 序列 \((U_n)_{n<\omega}\)，且对于所有的 \(n\) 有 \(\mu[U_n]_{\preceq} \leq 2^{-n}\)，都有 \(x \notin \cap_n [U_n]_{\preceq}\)，则称 \(x\) 是 Hippocrates μ - 随机的。 - **γ - 能量**：设 \(2^\omega\) 上的超度量 \(\upsilon\) 定义为 \(\upsilon(x, y) = 2^{-\min\{n:x(n)\neq y(n)\}}\)，一个测度 \(\mu\) 的 \(\gamma\) - 能量 \(I_\gamma(\mu)\) 定义为 \(I_\gamma(\mu) := \iint \frac{d\mu(b)d\mu(a)}{\upsilon(a, b)^\gamma}\)。如果 \(x\) 对于某个概率测度 \(\mu\) 是 Hippocrates μ - 随机的，且 \(I_\gamma(\mu) < \infty\)，则称 \(x\) 是 Hippocrates γ - 能量随机的。 ##### 相关定理 - **定理 3**：每个 Hippocrates γ - 能量随机实数是一个 \(Member_\gamma\)。 - **定理 4**：每个 \(Member_\gamma\) 是强 γ - 随机的。 - **证明思路**：设 \(P = \lambda_{1,\gamma}\) 和 \(p = 2^{-\gamma} \in ( \frac{1}{2}, 1]\)。对于 \(i < 2\) 和 \(\sigma \in \Omega\)，给定 \(\sigma \in G\) 时，串联 \(\sigma i \in G\) 的概率定义为 \(P\{\sigma i \in G | \sigma \in G\} = p\)。因此，\(\sigma\) 存活的绝对概率为 \(P\{\sigma \in G\} = p^{|\sigma|} = (2^{-\gamma})^{|\sigma|} = 2^{-|\sigma|\gamma}\)。设 \(U\) 是任何强 γ - 测试，即一个一致的 \(\Sigma^0_1\) 序列 \(U_n = \{\sigma_{n,i} : i < \omega\}\)，使得对于 \(U_n\) 的所有前缀自由子集 \(U'_n = \{\sigma'_{n,i} : i < \omega\}\)，有 \(wt_\gamma(U'_n) \leq 2^{-n}\)。定义 \([V_n]_{\preceq} := \{S : \exists i \sigma_{n,i} \in G\} \subseteq \{S : \exists i \sigma'_{n,i} \in G\}\)，可以证明 \(P[V_n]_{\preceq} \leq \sum_{i\in\omega} P\{\sigma'_{n,i} \in G\} = \sum_{i\in\omega} 2^{-|\sigma'_{n,i}|\gamma} \leq 2^{-n}\)。所以 \(V\) 是一个 \(\lambda_{1,\gamma}\) - ML - 随机性测试。假设 \(x\) 是一个 \(Member_\gamma\)，设 \(S\) 是任何 \(\lambda_{1,\gamma}\) - ML - 随机集合且 \(x \in \Gamma_S\)，则 \(S \notin \cap_n [V_n]_{\preceq}\)，所以对于某个 \(n\)，\(\Gamma \cap [U_n]_{\preceq} = \varnothing\)。因此 \(x \notin [U_n]_{\preceq}\)，由于 \(U\) 是任意的强 γ - 测试，这表明 \(x\) 是强 γ - 随机的。 ##### 推论与命题 - **推论 1**：对于 \(x \in 2^\omega\)，有如下蕴含关系：\(\dim^1_H(x) > \gamma \Rightarrow x\) 是一个 \(Member_\gamma \Rightarrow \dim^1_H(x) \geq \gamma\)。 - **证明思路**：每个 \(\dim^1_H(x) > \gamma\) 的实数 \(x\) 对于某个 \(\beta > \gamma\) 是 \(\beta\) - 可容的，这意味着 \(x\) 是 γ - 能量随机的，特别是 \(x\) 是 Hippocrates γ - 能量随机的，