代数域及其子域的谱

### 代数域及其子域的谱 #### 1. 谱的判定准则 对于给定的类 $K$，我们希望找到一个判定准则 $\psi$，使得对于图灵度集合的所有子集 $S$，满足 $\psi$ 成立当且仅当存在某个 $M \in K$，使得 $S = Spec(M)$。理想情况下，$\psi$ 应仅使用集合和度理论的性质，如 图灵可归约性、跳跃等。在某些情况下，$\psi$ 是存在一个 $V \subseteq \omega$，使得 $S$ 是 $V$ 可计算枚举的度的集合。 存在一些类 $K$，甚至是初等类（EC - 类），其判定准则 $\psi$ 是已知的： - **稠密线性序**：设 $\theta$ 是稠密线性序公理的合取，$\theta$ 的可数模型的唯一可能谱 $S$ 是所有图灵度的集合。 - **无挠阿贝尔群**：Coles、Downey 和 Slaman 研究了这个类，虽然他们没有明确表述，但从他们的工作可以看出，定理 2 的部分 1 和 2 中将“代数域”替换为“无挠阿贝尔群”也成立。 此外，还有一些类，如完全图类、给定签名下的有限模型类，不过这些类的条件 $\psi$ 很平凡。而对于图、树、线性序、布尔代数、阿贝尔群、$p$ - 群、域或有理向量空间等类，目前还没有已知的 $\psi$。并且，对于其中一些类对，条件 $\psi$（尽管尚未知晓）必定不等价。 #### 2. 相关定理的推论 几个已知定理与定理 2 结合能得到一些有用的结果： - **定理 3**：对于所有 $A \subseteq \omega$，存在一个集合 $B$，使得 (1) $A$ 在 $B$ 中可计算枚举，(2) 每个 $A$ 在其中可计算枚举的集合 $C$ 都满足 $B' \leq_T C'$。 - **推论 1**：每个代数域都有跳跃度。 - **Richter 构造**：Richter 构造了一个集合 $A$，使得 $\{d : A$ 在 $d$ 中可计算枚举 $\}$ 在 $\leq_T$ 下没有最小图灵度。 - **推论 2**：存在一个代数域，其谱中不包含最小图灵度。 - **集合的上锥**：给定任何集合 $S$，能枚举 $S \oplus \overline{S}$（$\overline{S}$ 是 $S$ 的补集）的度的集合是 $S$ 上方的图灵度上锥。 - **推论 3**：每个图灵度的上锥都构成某个代数域的谱。 #### 3. 素域的子域 选取任意素域 $Q$（有理数域 $\mathbb{Q}$ 或 $\mathbb{Z}/(p)$），并固定 $Q$ 的代数闭包 $\overline{Q}$ 的一个可计算表示 $\overline{Q}$。由于 $\overline{Q}$ 是可计算范畴的，对于 $\overline{Q}$ 上的任何关系 $R$ 和任何度 $d \in DgSp_{\overline{Q}}(R)$，存在 $\overline{Q}$ 上的关系 $S$，使得 $(\overline{Q}, R) \cong (\overline{Q}, S)$ 且 $d = deg(S)$。 以下是一些相关的引理和命题： - **引理 1**：对于代数域 $F$，设 $f$ 和 $g$ 是 $F$ 到 $\overline{Q}$ 的任意两个嵌入，则 $(g \circ f^{-1})$ 可扩展为 $\overline{Q}$ 的一个自同构。因此，我们可以无歧义地谈论 $F$ 作为 $\overline{Q}$ 上关系的度谱。 - **命题 1**：设 $F$ 是素域 $Q$ 的正规代数扩张，并固定 $Q$ 的一个可计算副本。则 $F$ 在 $\overline{Q}$ 中恰好有一个同态像，且 $DgSp_{\overline{Q}}(F) = \{deg(T^*_F)\}$，其中 $T^*_F = \{i : \exists a \in F(p_i(a) = 0)\}$。 - **证明**： 1. 固定 $g : F \to \overline{Q}$，对于任意 $x \in \overline{Q}$，要么 $F$ 不包含 $x$ 在 $Q[X]$ 中的极小多项式 $p(X)$ 的根（所以 $x \notin g(F)$），要么由于正规性，$F$ 包含 $p(X)$ 的 $d = deg(p)$ 个根。而 $\overline{Q}$ 也只包含 $p(X)$ 的 $d$ 个根，所以所有根（包括 $x$）都在 $g(F)$ 中，这证明了像 $g(F)$ 的唯一性。 2. 已知存在一个这样的同态 $h$ 是可计算的，所以 $g(F) = h(F) \leq_T T^*_F$。反之，给定任意多项式 $p(X) \in Q[X]$，我们可以从 $g(F)$ - 神谕计算 $p$ 是否在 $F$ 中有根，因此 $T^*_F \leq_T g(F)$，所以 $deg(T^*_F)$ 是 $DgSp_{\overline{Q}}(F)$ 中的唯一度。 - **定义 1**：代数域扩张 $L \subseteq F$ 是几乎正规的，如果存在一个有限域扩张 $L \subseteq E$，使得 $E \subseteq F$ 是正规扩张。 - **推论 4**：如果 $F$ 是素域 $Q$ 的几乎正规域扩张，则 $DgSp_{\overline{Q}}(F)$ 是单元素集。 - **证明**：设 $E$ 是 $Q$ 的有限扩张，$F$ 在 $E$ 上是正规的。根据命题 1 及后续说明，任何嵌入 $g : F \to \overline{Q}$ 的像 $g(F)$ 由 $g(E)$ 决定，特别是由 $g$ 在生成 $E$ 的有限集 $B$ 上的值决定。对于任意两个这样的嵌入 $g_0$ 和 $g_1$，我们只需要有限的信息（即 $g_0 \upharpoonright B$ 和 $g_1 \upharpoonright B$）来计算 $\overline{Q}$ 的一个自同构，该自同构将 $g_0(b)$ 映射到 $g_1(b)$ 对于每个 $b \in B$。这个自同构必须将 $g_0(F)$ 映射到 $g_1(F)$，并且由于它是可计算的，$g_0(F) \equiv_T g_1(F)$。 下面用 mermaid 流程图展示命题 1 的证明过程： ```mermaid graph TD A[固定 g : F -> Q] --> B{判断 x 在 Q[X] 中极小多项式 p(X) 的根情况} B -- F 不包含根 --> C[x 不属于 g(F)] B -- F 包含 d 个根 --> D[Q 也包含 d 个根] D --> E[x 属于 g(F)] E --> F[证明像 g(F) 的唯一性] F --> G[存在可计算同态 h] G --> H[g(F) = h(F) <=T T*_F] H --> I[从 g(F) - 神谕计算 p 是否在 F 中有根] I --> J[T*_F <=T g(F)] J --> K[deg(T*_F) 是 DgSpQ(F) 中的唯一度] ``` #### 4. 代数子域谱的分类 **定理 4**：设 $F$ 是任意代数域，素子域为 $Q$，设 $V_F$ 是之前定义的集合。如果 $F$ 在 $Q$ 上几乎正规，则 $DgSp_{\overline{Q}}(F) = \{deg(V