细胞群体增长与迁移的建模研究

# 细胞群体增长与迁移的建模研究 ## 1. 细胞群体增长的 LGCA 模型概述 在许多科学领域，如物理学、生态学、社会学、流行病学和生物学等，都存在着增长过程。在生物学中，增长过程在胚胎发育或肿瘤生长等现象中起着核心作用。为了研究细胞群体的增长，我们引入了一个微观的出生/死亡细胞过程，该过程在宏观层面表现为行波前沿行为。 ### 1.1 LGCA 模型的定义 LGCA 模型的自动机动力学源于三个规则（算子）的重复：传播（P）、重定向（O）和增长（R）。细胞运动由重定向和传播算子的组合定义，而增长算子控制节点处局部细胞数量的变化。 - **重定向算子**：负责节点速度通道内细胞的重新分布，提供新的节点速度分布。假设单个细胞进行随机游走，相应的转移概率为： \[P(\eta \to \eta_O)(r, \cdot) = \frac{1}{Z} \delta \left[ n(r, \cdot), n_O(r, \cdot) \right]\] 其中，归一化因子 \(Z = \sum_{\eta_O(r,\cdot)} \delta \left[ n(r, \cdot), n_O(r, \cdot) \right]\) 对应于由相互作用前节点密度 \(n(r, \cdot)\) 的值定义的等价类。 - **增长算子（R）**： - **出生**：增殖规则取决于节点容量 \(\tilde{b}\)，可解释为微观体积排斥。创建新细胞需要节点上至少存在一个细胞和至少一个空闲通道，即： \[R_i(r, \cdot) = \xi_i(r, \cdot)(1 - \eta_i(r, \cdot))\] 其中，\(\xi_i(r, \cdot)\) 是随机布尔变量，且 \(\sum_{i = 1}^{\tilde{b}} \xi_i(r, \cdot) = 1\)，相应的概率为： \[P(\xi_i(r, \cdot) = 1) = r_M \frac{\sum_{i = 1}^{\tilde{b}} \eta_i(r, \cdot)}{\tilde{b}}\] 这里，\(r_M\) 是节点上至少存在一个细胞时占据通道的概率。这种增长规律也称为承载能力受限或接触抑制增长。 - **死亡**：假设一定的营养可用性意味着最大节点占用率 \(C\)，即节点营养供应无法支持超过 \(C \leq \tilde{b}\) 个活细胞。因此，为每个细胞定义了死亡率，以确保每个节点最多存在 \(C\) 个细胞： \[r_d = \frac{\tilde{b} - C}{\tilde{b}} r_M\] 其中，\(\frac{\tilde{b} - C}{\tilde{b}}\) 是一个无量纲量。 ### 1.2 微观动力学方程 上述定义的动力学由以下微观动力学方程完全指定： \[\eta_R^i (r, k) = \eta_i(r, k) + R_i(r, k)\] \[\eta_i(r + m c_i, k + \tau) = \sum_{j = 1}^{\tilde{b}} \mu_j(r, k) \eta_R^j (r, k)\] 第一个方程涉及增长算子（R）的应用，通过随机增长过程为给定通道分配新的占用数。第二个方程涉及细胞在速度通道上的重新分布以及向相邻节点的传播，对应于随机游走。\(\mu_j(r, k) \in \{0, 1\}\) 是布尔随机变量，选择方程右侧 \(\tilde{b}\) 项中的一项，且 \(\sum_{j = 1}^{\tilde{b}} \mu_j(r, k) = 1\)。\(R_i(r, k) \in \{0, 1\}\) 表示通道 \(i\) 中细胞的出生/死亡过程，由增长规则定义，并独立应用于每个通道。 ### 1.3 模拟结果 我们在二维 100×100 晶格上对 LGCA 模型进行了 150 个时间步的模拟，固定最大占用率 \(C = \tilde{b}\) 和增殖率 \(r_M = 0.01\)，初始条件为一个小圆盘。模拟结果如下： - 从局部初始占用开始演化的模式是各向同性增长的圆盘。 - 模拟显示存在一个移动前沿，沿着该前沿，初始为空的节点的占用率从 0 增加到最大占用率 \(C\)。 为了进一步了解增长过程的宏观行为，我们采用了不同的模拟设置，考虑一个“管”，即具有在 \(L_2\) 轴上的周期性边界条件的 2000×10 晶格，并以一条薄细胞带作为初始条件。模拟时间为 2000 个时间步，结果是沿着 \(L_1\) 轴传播的二维行波前沿，模拟了一个“生长管”。这种设置具有以下优势： - 可以通过沿 \(L_2\) 轴对浓度分布进行平均，将系统投影到一维，即 \(n(r_x, k) = \frac{1}{|L_2|} \sum_{r_y \in |L_2|} n(r, k)\)。 - 前沿定义为最前端细胞的平均位置。 - 前沿的扩散动力学比二维圆盘演化更快地松弛。 - 前沿轮廓松弛到几乎稳定的形状，并几乎均匀地沿 \(L_1\) 轴移动。 模拟还表明，前沿随时间线性演化。 ### 1.4 分析 #### 1.4.1 平均场近似 通过对微观动力学方程进行平均并使用平均场近似，我们可以得到晶格玻尔兹曼方程（LBE）： \[f_i(r + m c_i, k + \tau) - f_i(r, k) = \sum_{j = 1}^{\tilde{b}} \lambda_{ij} f_j(r, k) + \sum_{j = 1}^{\tilde{b}} (\delta_{ij} + \lambda_{ij}) \tilde{R}_j(r, k)\] 其中，矩阵 \(\lambda_{ij} = \frac{1}{\tilde{b}} - \delta_{ij}\) 是底层洗牌过程的转移矩阵。假设平均场反应项与粒子方向无关，即 \(\tilde{R}_i = \frac{F(\rho)}{\tilde{b}}\)，其中 \(F(\rho)\) 是单个节点的平均场细胞反应项。使用平均场近似，我们得到反应项： \[\tilde{R}_i(r, k) = r_M f_i(r, k) \left( 1 - \frac{r_D}{r_M} - f_i(r, k) \right)\] #### 1.4.2 宏观动力学 为了推导宏观描述，我们使用 Chapman - Enskog 方法。假设扩散缩放： \[x = \epsilon r \quad \text{和} \quad t = \epsilon^2 k\] 其中，\((x, t)\) 是当 \(\epsilon \to 0\) 时的连续变量。使用时空缩放关系并将 LBE 的第一部分替换为其泰勒展开式，得到： \[f_i(r + m c_i, k + \tau) - f_i(r, k) = \left( \epsilon^2 \tau \partial_t + \frac{\epsilon^4 \tau^2}{2} \partial_{tt} + \epsilon m (c_i \cdot \nabla) + \frac{\epsilon^2 m^2}{2} (c_i \cdot \nabla)^2 + \epsilon^3 \tau m \partial_t (c_i \cdot \nabla) \right) f_i(r, k)\] 假设 \(f_i\) 进行渐近展开： \[f_i = f_i^{(0)} + \epsilon f_i^{(1)} + \epsilon^2 f_i^{(2)} + O(\epsilon^3)\] 由于细胞出生的时间尺度比运动慢得多，增长项按宏观时间缩放，即 \(\bar{R}_i \to \epsilon^2