贪心算法在 Kruskal 算法中的应用：构建最小生成树的技巧

 # 1. 贪心算法概述 贪心算法是一种启发式算法，它通过在每一步中做出局部最优的选择来解决优化问题。这种算法的优点是简单易懂，实现成本低，并且在某些情况下可以获得较好的近似解。 贪心算法的思想是：在解决问题时，总是做出当前看来最好的选择，而不考虑这个选择对未来可能产生的影响。这种算法的优点是简单易懂，实现成本低，并且在某些情况下可以获得较好的近似解。但是，贪心算法也存在一定的局限性，它可能无法得到全局最优解。 # 2. Kruskal 算法的理论基础 ### 2.1 Kruskal 算法的原理 Kruskal 算法是一种贪心算法，用于求解加权无向连通图的最小生成树。它的基本原理是：从图中所有边中，每次选择权值最小的边加入到生成树中，直到生成树包含图中所有顶点。 ### 2.2 Kruskal 算法的实现步骤 Kruskal 算法的实现步骤如下： 1. 将图中的所有边按权值从小到大排序。 2. 创建一个并查集数据结构，其中每个顶点最初属于一个单独的集合。 3. 遍历排序后的边： - 如果边的两个端点属于不同的集合，则将边加入生成树中，并使用并查集将两个集合合并。 - 如果边的两个端点属于同一个集合，则忽略该边。 4. 重复步骤 3，直到生成树包含图中所有顶点。 ### 2.3 Kruskal 算法的复杂度分析 Kruskal 算法的时间复杂度为 O(E log E)，其中 E 是图中的边数。 **代码块：** ```python def kruskal(graph): """ Kruskal 算法求解加权无向连通图的最小生成树。 参数： graph: 加权无向连通图，以邻接表的形式表示。 返回： 最小生成树的边集。 """ # 初始化并查集 disjoint_set = DisjointSet() for vertex in graph: disjoint_set.make_set(vertex) # 将边按权值从小到大排序 edges = sorted(graph.edges(), key=lambda edge: edge.weight) # 遍历排序后的边 mst = set() for edge in edges: if disjoint_set.find(edge.source) != disjoint_set.find(edge.destination): mst.add(edge) disjoint_set.union(edge.source, edge.destination) return mst ``` **逻辑分析：** * `make_set(vertex)` 函数将顶点 `vertex` 初始化为一个单独的集合。 * `find(vertex)` 函数返回包含顶点 `vertex` 的集合的代表元素。 * `union(vertex1, vertex2)` 函数将包含顶点 `vertex1` 和 `vertex2` 的集合合并。 * `sorted(graph.edges(), key=lambda edge: edge.weight)` 将图中的边按权值从小到大排序。 * `mst.add(edge)` 将边 `edge` 加入到最小生成树中。 * `disjoint_set.union(edge.source, edge.destination)` 将包含边 `edge` 两个端点的集合合并。 **参数说明：** * `graph`：加权无向连通图，以邻接表的形式表示。 * `edge`：图中的边，包含源顶点、目标顶点和权值。 **代码块：** ```python class DisjointSet: """ 并查集数据结构。 """ def __init__(self): self.parent = {} self.rank = {} def make_set(self, vertex): """ 初始化一个新的集合，包含顶点 `vertex`。 参数： vertex: 顶点。 """ self.parent[vertex] = vertex self.rank[vertex] = 0 def find(self, vertex): """ 返回包含顶点 `vertex` 的集合的代表元素。 参数： vertex: 顶点。 返回： 集合的代表元素。 """ if self.parent[vertex] != vertex: self.parent[vertex] = self.find(self.parent[vertex]) return self.parent[vertex] def union(self, vertex1, vertex2): """ 将包含顶点 `vertex1` 和 `vertex2` 的集合合并。 参数： vertex1: 顶点 1。 vertex2: 顶点 2。 """ root1 = self.find(vertex1) root2 = self.find(vertex2) if root1 != root2: if self.rank[root1] > self.rank[root2]: self.parent[root2] = root1 else: self.parent[root1] = root2 if self.rank[root1] == self.rank[root2]: self.rank[root2] += 1 ``` **逻辑分析：** * `make_set(vertex)` 函数将顶点 `vertex` 初始化为一个单独的集合，其代表元素和秩都为 `vertex`。 * `find(vertex)` 函数使用路径压缩技术递归地查找包含顶点 `vertex` 的集合的代表元素。 * `union(vertex1, vertex2)` 函数使用按秩合并技术将包含顶点