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CDQ分治是什么

时间: 2025-08-09 21:59:45 浏览: 11
<think>首先,用户的问题是关于CDQ分治算法的基本原理及其应用场景。我需要根据系统级指令来构建我的回答。 系统级指令关键点: - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题,保证真实可靠。 参考站内引用: - 引用[1]:关于分治思想的描述,包括分块、递归等。 - 引用[2]:关于书籍的引用,不相关。 - 引用[3]:关于下载资源的链接,不相关。 用户真正的需求是理解CDQ分治的概念和原理,所以我需要专注于CDQ分治。 CDQ分治的基本原理: - CDQ分治是由陈丹琦(Chen Danqi)提出的一种算法,用于处理偏序问题,如三维偏序问题。 - 它是分治思想的一种应用,特别适合解决离线查询问题。 - 核心思想:将问题分成子问题,递归解决,然后合并结果,处理跨越子问题的部分。 应用场景: - 三维偏序问题:例如,给定点集,统计每个点满足某些条件的点数。 - 动态规划优化:如斜率优化等。 - 其他离线查询问题。 我的回答结构: 1. **介绍CDQ分治**:简要说明其背景和目的。 2. **基本原理**:解释算法步骤,使用数学表达式描述。 3. **应用场景**:列出常见应用。 4. **生成相关问题**:在最后添加相关问题。 5. **添加引用**:在引用段落末尾自然添加引用标识。 数学表达式: - 行内数学:如变量、点坐标等,使用$...$。 - 独立公式:如方程,使用$$...$$。 例如: - 行内:点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$ - 独立:偏序关系公式。 生成相关问题: - 基于CDQ分治,如"CDQ分治如何优化三维偏序问题?"或"CDQ分治的时间复杂度分析?" 确保回答真实可靠: - 基于算法知识,CDQ分治常用于OI竞赛中处理偏序问题。 引用处理: - 参考引用[1]是关于分治思想的,我可以引用它来支持分治部分。 - 其他引用不相关,但系统说"请尽可能多的参考用户上一次的问题和你的回答",但用户没有上一次问题,所以基于当前引用。 最终回答大纲: - 开头:介绍CDQ分治。 - 原理部分:分步骤解释,使用LaTeX。 - 应用场景:列举例子。 - 相关问题:在最后添加。 - 结尾:自然结束。</think>### CDQ分治算法的基本原理及其应用场景 CDQ分治(Chen Danqi Divide and Conquer)是由中国计算机科学家陈丹琦提出的一种分治算法变体,主要用于处理离线查询问题,特别是多维偏序问题(如三维偏序)。它在算法竞赛和数据处理中应用广泛,能高效解决一些复杂问题。下面我将逐步解释其基本原理和应用场景,确保内容清晰可靠。 #### 1. CDQ分治的基本原理 CDQ分治基于经典分治思想,但针对偏序问题进行了优化。核心思路是将问题递归分解为子问题,处理子问题内部和子问题之间的影响,最后合并结果。算法主要分为三个步骤:分、治、合。以下是详细解释: - **分(Divide)**:将输入数据(如点集)按某一维度(通常是时间或索引)分成两个大致相等的子集,记为左子集$L$和右子集$R$。例如,给定点集$P = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}$,其中每个点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$表示三维坐标,我们按第一维$a_i$排序并分割: $$ \text{mid} = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor $$ 这样得到$L = \{P_i \mid i \leq \text{mid}\}$和$R = \{P_i \mid i > \text{mid}\}$。递归地对$L$和$R$应用相同过程。 - **治(Conquer)**:递归处理左子集$L$和右子集$R$,解决子问题内部的偏序关系。例如,在三维偏序问题中,目标是统计每个点$P_i$满足$a_j \leq a_i, b_j \leq b_i, c_j \leq c_i$的点数$j$($j \neq i$)。递归调用确保子集内部的问题被解决。 - **合(Merge)**:合并子问题结果,并处理跨越子集$L$和$R$的影响。这是CDQ分治的关键: - 使用辅助数据结构(如树状数组或线段树)高效处理跨子集贡献。 - 例如,在三维偏序中,合并时需统计$L$中的点对$R$中点的贡献。具体做法: 1. 对$L$和$R$按第二维$b_i$排序。 2. 遍历$R$中的每个点$P_j$,同时维护一个树状数组,用于记录第三维$c_i$的累积值。 3. 对于$P_j$,查询树状数组中满足$c_k \leq c_j$的点数($k$来自$L$),并累加到结果。 这确保了跨子集贡献在$O(n \log n)$时间内完成。 整个算法的时间复杂度为$O(n \log^2 n)$,其中$n$是数据规模。递归公式可表示为: $$ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n \log n) $$ 其中$O(n \log n)$来自合并步骤的排序和树状数组操作。CDQ分治通过“分而治之”高效处理了偏序关系[^1]。 #### 2. CDQ分治的应用场景 CDQ分治特别适合离线查询问题,其中数据点固定,查询可批量处理。常见应用包括: - **三维偏序问题**:如统计逆序对或点对关系。例如,在竞赛中,给定点集统计每个点“支配”的点数(即所有维度都小于等于该点的点)。CDQ分治能高效解决,时间复杂度优于暴力$O(n^2)$。 - **动态规划优化**:用于优化序列问题,如最长上升子序列(LIS)或斜率优化问题。通过分治处理状态转移,减少计算量。 - **离线查询处理**:在数据库或算法中,处理批量查询,如区间统计或范围查询。CDQ分治将查询排序后递归处理,避免实时开销。 - **其他领域**:在计算几何(如最近点对问题)和机器学习数据预处理中也有应用,但需结合具体算法调整。 CDQ分治的优势在于其通用性和效率,但要求问题具有“可分治性”,即子问题独立且合并步骤可高效实现。实际应用中,常结合树状数组等数据结构提升性能。 #### 相关问题 1. CDQ分治如何处理更高维度的偏序问题(如四维偏序)? 2. CDQ分治与普通分治算法的主要区别是什么? 3. CDQ分治在动态规划优化中的具体实现案例? [^1]: 分治思想的核心是递归分解问题,然后合并结果,这在CDQ分治中得到充分体现,如分割点集并递归处理子问题。 [^2]: 算法理论常参考经典书籍,但CDQ分治更常见于竞赛和算法论文。
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#include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define lb(x) x&(-x) using namespace std; const ll N=1e5,INF=1e15; struct node{ ll f; double x,y; }a[N+5],b[N+5]; ll n,s; double A[N+5],B[N+5],R[N+5]; double dp[N+5]; ll q[N+5]; ll getx(ll x){ return dp[x]*1.0/(A[x]*R[x]+B[x])*1.0*R[x]; } ll gety(ll x){ return dp[x]*1.0/(A[x]*R[x]+B[x]); } double slp(ll x,ll y){ return a[x].x==a[y].x?INF:(a[x].y-a[y].y)*1.0/(a[x].x-a[y].x); } bool cmp1(node l1,node l2){ return -A[l1.f]/B[l1.f]<-A[l2.f]/B[l2.f]; } void cdq(ll l,ll r){ if(l==r){ // dp[l]=max(dp[l],dp[l-1]); a[l].x=getx(l),a[l].y=gety(l); return; } ll mid=(l+r)>>1; ll lp=l-1,rp=mid; for(ll i=l;i<=r;i++){ if(a[i].f<=mid) b[++lp]=a[i]; else b[++rp]=a[i]; } for(ll i=l;i<=r;i++) a[i]=b[i]; cdq(l,mid); ll h=0,t=0; for(ll i=l;i<=mid;i++){ while(t>=2 && slp(q[t-1],q[t-1])<slp(q[t],i)) t--; q[++t]=i; } for(ll i=mid+1;i<=r;i++){ while(h+1<=t && -A[a[i].f]*1.0/B[a[i].f]<=slp(q[h],q[h+1])) h++; dp[a[i].f]=max(dp[a[i].f],a[q[h]].x*A[a[i].f]+a[q[h]].y*B[a[i].f]); } cdq(mid+1,r); lp=l,rp=mid+1; ll p=l-1; while(lp<=mid && rp<=r){ if(a[lp].x<a[rp].x) b[++p]=a[lp++]; else b[++p]=a[rp++]; } while(lp<=mid) b[++p]=a[lp++]; while(rp<=r) b[++p]=a[rp++]; for(ll i=l;i<=r;i++) a[i]=b[i]; return; } int main(){ scanf("%lld%lld",&n,&s); for(ll i=1;i<=n;i++){ scanf("%lf%lf%lf",&A[i],&B[i],&R[i]); dp[i]=s; a[i].x=getx(i),a[i].y=gety(i),a[i].f=i,dp[i]=s; } sort(a+1,a+n+1,cmp1); cdq(1,n); printf("%.3lf",dp[n]); return 0; } #include <cstdio> #include <cctype> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; const int N = 100005; const double eps = 1e-9, inf = 1e9; struct val { int p; double x, y; } q[N], tmp[N]; double f[N], A[N], B[N], R[N]; int s[N]; bool cmp(val a, val b) { return -(A[a.p] / B[a.p]) > -(A[b.p] / B[b.p]); } double slope(int x, int y) { if (q[x].x == q[y].x) return inf; return (q[y].y - q[x].y) / (q[y].x - q[x].x); } void cdq(int l, int r) { if (l == r) { //完成对节点的处理 f[l] = max(f[l], f[l - 1]); q[l].x = f[l] / (A[l] * R[l] + B[l]) * R[l]; q[l].y = f[l] / (A[l] * R[l] + B[l]); return ; } int mid = (l + r) >> 1, lp = l, rp = mid + 1, tp = l; for (int i = l; i <= r; i++) //分组 if (q[i].p <= mid) tmp[lp++] = q[i]; else tmp[rp++] = q[i]; for (int i = l; i <= r; i++) q[i] = tmp[i]; cdq(l, mid); int t = 0, p = 1; for (int i = l; i <= mid; i++) { //建凸壳 while (t > 1 && slope(s[t], i) > slope(s[t - 1], s[t])) --t; s[++t] = i; } for (int i = mid + 1; i <= r; i++) { //转移 while (p < t && slope(s[p], s[p + 1]) > -A[q[i].p] / B[q[i].p]) ++p; f[q[i].p] = max(f[q[i].p], q[s[p]].x * A[q[i].p] + q[s[p]].y * B[q[i].p]); } cdq(mid + 1, r); lp = l; rp = mid + 1; tp = l; while (lp <= mid && rp <= r) //归并 if (q[lp].x < q[rp].x) tmp[tp++] = q[lp++]; else tmp[tp++] = q[rp++]; while (lp <= mid) tmp[tp++] = q[lp++]; while (rp <= r) tmp[tp++] = q[rp++]; for (int i = l; i <= r; i++) q[i] = tmp[i]; } int main() { int n; double s; scanf("%d%lf", &n, &s); for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%lf%lf%lf", &A[i], &B[i], &R[i]); q[i].p = i; //pos q[i].x = s / (A[q[i].p] * R[q[i].p] + B[q[i].p]) * R[q[i].p]; q[i].y = s / (A[q[i].p] * R[q[i].p] + B[q[i].p]); f[i] = s; //用s初始化 } sort(q + 1, q + 1 + n, cmp); cdq(1, n); printf("%.3lf\n", f[n]); return 0; } 这两份代码功能上有什么区别

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在详细解析“unimoco”这个概念之前,我们需要明确几个关键点。首先,“unimoco”代表的是一种视觉表示学习方法,它在机器学习尤其是深度学习领域中扮演着重要角色。其次,文章作者通过这篇论文介绍了UniMoCo的全称,即“Unsupervised, Semi-Supervised and Full-Supervised Visual Representation Learning”,其背后的含义是在于UniMoCo框架整合了无监督学习、半监督学习和全监督学习三种不同的学习策略。最后,该框架被官方用PyTorch库实现,并被提供给了研究者和开发者社区。 ### 1. 对比学习(Contrastive Learning) UniMoCo的概念根植于对比学习的思想,这是一种无监督学习的范式。对比学习的核心在于让模型学会区分不同的样本,通过将相似的样本拉近,将不相似的样本推远,从而学习到有效的数据表示。对比学习与传统的分类任务最大的不同在于不需要手动标注的标签来指导学习过程,取而代之的是从数据自身结构中挖掘信息。 ### 2. MoCo(Momentum Contrast) UniMoCo的实现基于MoCo框架,MoCo是一种基于队列(queue)的对比学习方法,它在训练过程中维持一个动态的队列,其中包含了成对的负样本。MoCo通过 Momentum Encoder(动量编码器)和一个队列来保持稳定和历史性的负样本信息,使得模型能够持续地进行对比学习,即使是在没有足够负样本的情况下。 ### 3. 无监督学习(Unsupervised Learning) 在无监督学习场景中,数据样本没有被标记任何类别或标签,算法需自行发现数据中的模式和结构。UniMoCo框架中,无监督学习的关键在于使用没有标签的数据进行训练,其目的是让模型学习到数据的基础特征表示,这对于那些标注资源稀缺的领域具有重要意义。 ### 4. 半监督学习(Semi-Supervised Learning) 半监督学习结合了无监督和有监督学习的优势,它使用少量的标注数据与大量的未标注数据进行训练。UniMoCo中实现半监督学习的方式,可能是通过将已标注的数据作为对比学习的一部分,以此来指导模型学习到更精准的特征表示。这对于那些拥有少量标注数据的场景尤为有用。 ### 5. 全监督学习(Full-Supervised Learning) 在全监督学习中,所有的训练样本都有相应的标签,这种学习方式的目的是让模型学习到映射关系,从输入到输出。在UniMoCo中,全监督学习用于训练阶段,让模型在有明确指示的学习目标下进行优化,学习到的任务相关的特征表示。这通常用于有充足标注数据的场景,比如图像分类任务。 ### 6. PyTorch PyTorch是一个开源机器学习库,由Facebook的人工智能研究团队开发,主要用于计算机视觉和自然语言处理等任务。它被广泛用于研究和生产环境,并且因其易用性、灵活性和动态计算图等特性受到研究人员的青睐。UniMoCo官方实现选择PyTorch作为开发平台,说明了其对科研社区的支持和对易于实现的重视。 ### 7. 可视化表示学习(Visual Representation Learning) 可视化表示学习的目的是从原始视觉数据中提取特征,并将它们转换为能够反映重要信息且更易于处理的形式。在UniMoCo中,无论是无监督、半监督还是全监督学习,最终的目标都是让模型学习到有效的视觉表示,这些表示可以用于下游任务,如图像分类、目标检测、图像分割等。 ### 8. 标签队列(Label Queue) UniMoCo通过标签队列维护受监管的标签,这可能意味着对于那些半监督或全监督学习的任务,模型在进行对比学习时,会参考这些来自标签队列的数据。标签队列机制能帮助模型更好地利用有限的标注数据,增强模型的泛化能力。 ### 结论 UniMoCo的提出,以及其官方PyTorch实现的发布,将对计算机视觉领域产生深远影响。它不仅提供了一个统一的对比学习框架,使得从无监督到全监督的学习过程更加灵活和高效,而且为研究者们提供了一个强力的工具,以便更好地探索和实现各种视觉任务。UniMoCo的研究和应用前景,为机器学习尤其是深度学习在视觉领域的研究和实践提供了新的视角和可能。
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【MATLAB算法精讲】:最小二乘法的实现与案例深度分析

# 1. 最小二乘法的基本原理 最小二乘法是一种数学优化技术,它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。其核心思想是选择一条曲线,使得所有观察点到这条曲线的距离之和最小。这种方法广泛应用于统计学、信号处理、工程学和经济学等领域,尤其适用于需要通过一组数据点来确定函数参数的情况。 ## 1.1 统计学视角下的最小二乘法 在统计学中,最小二乘法经常用于