从零开始学习数学建模神经网络算法

### 数学建模与神经网络算法的学习路径 对于想要从零开始学习数学建模以及神经网络算法的初学者来说，可以从以下几个方面入手： #### 工具选择 - 如果目标是快速理解和实践基本概念，并且不需要处理大规模数据或复杂的模型架构，则可以选择 **MATLAB**。这是因为 MATLAB 提供了许多内置函数和工具箱，能够帮助用户迅速搭建简单的模型并进行验证[^1]。 - 对于那些计划深入研究、处理更大规模的数据集或是将研究成果应用于实际生产环境的人群而言，**Python** 显然是更加灵活和强大的选项。它拥有丰富的库支持（如 TensorFlow, PyTorch），可以满足各种复杂需求。 #### 基础理论 - 需要掌握一些基础的数学知识作为支撑，比如线性代数、概率论统计等内容。这些知识点会在后续建立模型过程中频繁用到。 - 另外还需要了解梯度下降法这一核心优化技术的工作机制及其变体形式如何影响最终结果的质量[^3]。 #### 实践操作 通过具体案例加深理解是非常重要的环节之一。例如，在图像识别领域常用的卷积神经网络(CNN)[^2], 或者是在序列数据分析时常使用的循环神经网络(RNN); 同样也可以尝试其他类型的算法像遗传算法(GA)[^4] 或 K最近邻(KNN) 方法 [^5]. 以下是两种不同编程环境下实现简单版本前馈全连接型人工神经元计算过程的例子: ```python import numpy as np def sigmoid(x): return 1 / (1 + np.exp(-x)) class NeuralNetwork: def __init__(self, input_nodes, hidden_nodes, output_nodes, learning_rate): self.input_nodes = input_nodes self.hidden_nodes = hidden_nodes self.output_nodes = output_nodes self.weights_input_to_hidden = np.random.normal(0.0, self.input_nodes**-0.5, (self.input_nodes, self.hidden_nodes)) self.weights_hidden_to_output = np.random.normal(0.0, self.hidden_nodes**-0.5, (self.hidden_nodes, self.output_nodes)) self.lr = learning_rate def train(self, features, targets): n_records = features.shape[0] delta_weights_i_h = np.zeros(self.weights_input_to_hidden.shape) delta_weights_h_o = np.zeros(self.weights_hidden_to_output.shape) for X, y in zip(features, targets): #### Forward pass ### hidden_inputs = np.dot(X, self.weights_input_to_hidden) hidden_outputs = sigmoid(hidden_inputs) final_inputs = np.dot(hidden_outputs, self.weights_hidden_to_output) final_outputs = final_inputs ### Backward Pass ### error = y - final_outputs output_error_term = error hidden_error = np.dot(output_error_term , self.weights_hidden_to_output.T ) hidden_error_term = hidden_error * hidden_outputs *(1-hidden_outputs ) # Weights step update calculation delta_weights_i_h += hidden_error_term *X[:,None ] delta_weights_h_o +=output_error_term*hidden_outputs [:, None ] self.weights_hidden_to_output += self.lr *delta_weights_h_o/n_records self.weights_input_to_hidden += self.lr *delta_weights_i_h/n_records ``` 上述代码展示了如何利用 Python 构造一个简易版单隐藏层感知机类 `NeuralNetwork` 并完成一次完整的训练周期。 而在Matlab环境中则可能看起来如下所示: ```matlab % Define network architecture parameters. inputLayerSize = 2; hiddenLayerSize = 3; outputLayerSize = 1; % Initialize weights randomly with mean zero and standard deviation sqrt(1/number_of_inputs). W1 = randn(inputLayerSize, hiddenLayerSize)*sqrt(1/inputLayerSize); b1 = zeros(size(W1,2),1); W2 = randn(hiddenLayerSize,outputLayerSize)*sqrt(1/hiddenLayerSize); b2 = zeros(size(W2,2),1); alpha = 0.9; % Learning rate. for epoch=1:num_epochs for i=1:m % Feedforward phase. z2 = W1'*data(:,i)+repmat(b1,[1 m]); a2 = tanh(z2); z3 = W2'*a2+repmat(b2,[1 m]); h = z3; % Output layer uses identity activation function here. % Compute cost derivative wrt to each parameter. delta_3 = -(y(i)-h).*ones(length(h),m); grad_W2 = a2*(delta_3'); grad_b2 = sum(delta_3')'; delta_2 = ((W2.*delta_3').*(1-a2.^2)); grad_W1 = data*(delta_2'); grad_b1 = sum(delta_2',[],2)'; % Update rule via gradient descent algorithm. W1 = W1-alpha/m*grad_W1; b1 = b1-alpha/m*grad_b1; W2 = W2-alpha/m*grad_W2; b2 = b2-alpha/m*grad_b2; end end ``` 以上两段分别代表了使用 Python 和 Matlab 编程语言编写的一个小型神经网络实例程序片段。