Phần bù (lý thuyết tập hợp)

Bên trong hình vuông có một hình tròn màu đỏ và bên ngoài hình tròn đó màu trắng, bên ngoài màu trắng. Biên giữa hình tròn và hình vuông có màu đen.

Nếu

A

là phần được tô màu đỏ trong hình vẽ này...

An unfilled circle inside a square. The area inside the square not covered by the circle is filled with red. The borders of both the circle and the square are black.

... thì bù của

A

là tất cả những gì còn lại.

Trong lý thuyết tập hợp, phần bù hay bù của tập hợp (toán học) $A$ thường được ký hiệu là $A ∁$ (hoặc $A'$ ),^[1] là tập hợp các phần tử không nằm trong $A$ .^[2]

Khi tất cả các tập đều nằm trong một vũ trụ (tập vũ trụ $U$ là tập tất cả các tập hợp đang cần xét), thì phần bù tuyệt đối của $A$ là tập tất cả các phần tử thuộc $U$ nhưng không nằm trong $A$ .

Phần bù tương đối của $A$ tương ứng với tập hợp $B$ còn được gọi là hiệu tập hợp giữa $B$ với $A$ , đượ ký hiệu là $B\setminus A,$ và là tập các phần tử thuộc $B$ nhưng không thuộc về $A$ .

Phần bù tuyệt đối

Định nghĩa

Nếu $A$ là một tập hợp, thì phần bù tuyệt đối của $A$ (hay nói gọn đi là bù của $A$ ) là tập tất cả phần tử không thuộc $A$ (tập này nằm trong một tập lớn hơn đã được định nghĩa trước). Nói cách khác, gọi $U$ là tập đang chứa tất cả các phần tử đang cần phải xét (nếu như không cần xác định $U$ thì có nghĩa nó đã được định nghĩa trước ngay từ đầu), khi đó phần bù tuyệt đối của $A$ là phần bù tương đối của $A$ trong $U$ : $A^{\complement }=U\setminus A.$

Nói rõ hơn: $A^{\complement }=\{x\in U:x\notin A\}.$

Phần bù tuyệt đối của $A$ thường được ký hiệu bởi $A ∁ .$ Các cách ký hiệu khác bao gồm ${\overline {A}},A',$ ^[2] $\complement _{U}A,{\text{ và }}\complement A.$ ^[3]

Các ví dụ

Giả sử rằng tập vũ trụ là tập tất cả các số nguyên. Nếu $A$ là tập các số lẻ thì bù của $A$ là tập các số chẵn. Nếu $B$ là tập hợp các bội của 3, thì bù của $B$ là tập các số đồng dư với 1 hoặc 2 môđun 3 (nói đơn giản hơn là các số không chia hết cho 3).
Giả sử rằng tập vũ trụ là bộ bài chuẩn 52 lá, nếu tập hợp $A$ là tập các lá bích, thì bù của $A$ là hợp của tập lá cơ, tập lá rô và tập lá chuồn. Nếu tập $B$ là hợp của tập lá chuồn và rô thì bủ của $B$ là hợp của tập lá cơ và bích.

Tính chất

Gọi $A$ và $B$ là hai tập hợp nằm trong vũ trụ $U$ . Sau đây là hai tính chất quan trọng của phần bù tuyệt đối:

Luật De Morgan:^[4]

$\left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.$
$\left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Luật bù:^[4]

$A\cup A^{\complement }=U.$
$A\cap A^{\complement }=\varnothing .$
$\varnothing ^{\complement }=U.$
$U^{\complement }=\varnothing .$
${\text{Nếu }}A\subseteq B{\text{, thì }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.$
(có thể chứng minh bằng phản chứng).

Phép chập hay phần bù kép:

$\left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.$

Quan hệ giữa bù tương đối và bù tuyệt đối:

$A\setminus B=A\cap B^{\complement }.$
$(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).$

Quan hệ của hiệu tập hợp:

$A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.$

Hai luật bù đầu tiên ở trên chỉ ra rằng nếu tập $A$ không rỗng là tập con thực sự của $U$ , thì ${A, A ∁}$ là phân hoạch của $U$ .

Phần bù tương đối

Định nghĩa

Nếu $A$ và $B$ là hai tập hợp, thì phần bù tương đối của $A$ trong $B$ ,^[4] hay còn gọi là hiệu tập hợp của $B$ với $A$ ,^[5] là tập tất cả các phần tử thuộc $B$ nhưng không thuộc $A$ .

Phần bù tương đối của $A$ trong $B$ được ký hiệu là $B\setminus A$ theo tiêu chuẩn ISO 31-11. Đôi khi cũng được ký hiệu là $B-A,$ song ký hiệu này không rõ ràng trong một số ngữ cảnh (ví dụ chẳng hạn, các phép tập hợp của Minkowski trong giải tích hàm). Chẳng hạn như, nó có thể coi là tập tất cả các phần tử $b-a,$ trong đó $b$ thuộc về $B$ và $a$ thuộc về $A$ .

Dưới ký hiệu toán học: $B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.$

Các ví dụ

$\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.$
$\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.$
Nếu $\mathbb {R}$ là tập các số thực và $\mathbb {Q}$ là tập các số hữu tỉ thì $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ là tập các số vô tỉ

Tính chất

Đặt $A$ , $B$ , và $C$ là các tập hợp. Các định thức sau chỉ ra các tính chất quan trọng của phần bù tương đối:

$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).$
$C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).$
$C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),$
trong đó có trường hợp đặc biệt $C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)$ chứng minh rằng phần giao của hai tập hợp có thể biểu diễn bằng hiệu tập hợp)
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).$
$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).$
$A\setminus A=\emptyset .$
$\emptyset \setminus A=\emptyset .$
$A\setminus \emptyset =A.$
$A\setminus U=\emptyset .$
Nếu $A\subset B$ , thì $C\setminus A\supset C\setminus B$ .
$A\supseteq B\setminus C$ tương đương với $C\supseteq B\setminus A$ .

Quan hệ bù

Quan hệ hai ngôi $R$ được định nghĩa là tập con của tích tập hợp $X\times Y.$ Quan hệ bù ${\bar {R}}$ là bù của quan hệ $R$ trong $X\times Y.$ Bù của quan hệ $R$ được viết ngắn gọn như sau ${\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.$ Trong lý thuyết, $R$ được xem là ma trận logic trong đó các hàng biểu diễn các phần tử thuộc $X,$ còn cột biểu diễn các phần tử thuộc $Y.$ Khi $aRb$ đúng, thì giá trị của $aRb$ bằng với 1 trong ô hàng $a,$ cột $b.$ trong ma trận lôgic. Ma trận lôgic của quan hệ bù của $R$ được xây bằng cách đổi các số 1 sang 0 và các số 0 về số 1 trong ma trận lôgic của $R$

Quan hệ bù cùng với hợp quan hệ,quan hệ ngược và đại số tập hợp là các phép toán sơ cấp của vi tích phân quan hệ.

Ký hiệu trong LaTeX

Trong ngôn ngữ soạn thảo tài liệu LaTeX, lệnh \setminus^[6] thường được dùng để hiển thị ký hiệu hiệu tập hợp, ký hiệu này gần giống với dấu gạch chéo ngược . Khi được hiển thị, lệnh \setminus giống ý hệt \backslash, chỉ ngoại trừ việc nó có nhiều khoảng cách đằng trước và đằng sau dấu gạch chéo, na ná chuỗi lệnh LaTeX \mathbin{\backslash}. Phiên bản khác \smallsetminus có trong gói amssymb. Ký hiệu $\complement$ (ngược với $C$ ) lấy từ lệnh \complement. (Nó tương với ký hiệu Unicode ∁.)

Trong ngôn ngữ lập trình

Một số ngôn ngữ lập trình đã cài đặt sẵn một số cấu trúc dữ liệu như tập hợp. Thường thì cấu trúc đó có hoạt động giống với tập hữu hạn, tức là nó chỉ có hữu hạn số phần tử không được sắp theo thứ tự nào cả. Trong một số trường hợp, các phần tử trong tập không nhất thiết phải phân biệt, tức là cấu trúc lúc này mô tả đa tập hợp (multiset) thay vì tập hợp thông thường. Các ngôn ngữ này thường có toán tử hoặc hàm viết sẵn cho phần bù và hiệu tập hợp.

Các toán tử này có thể áp dụng cho cả các cấu trúc dữ liệu không phải tập hợp trong toán học, ví dụ danh sách liên kết hoặc mảng. Do đó một vài ngôn ngữ lập trình có sẵn hàm set_difference kể cả khi đầu vào của nó không nhất thiết phải là tập hợp.

Xem thêm

Đại số của tập hợp
Giao (lý thuyết tập hợp)
Lý thuyết tập hợp ngây thơ
Hiệu đối xứng – Các phần tử chỉ thuộc duy nhất một trong hai tập hợp
Hợp (lý thuyết tập hợp)

Chú thích

^ “Complement and Set Difference”. web.mnstate.edu. Bản gốc lưu trữ ngày 23 tháng 1 năm 2021. Truy cập ngày 4 tháng 9 năm 2020.
^ ^a ^b “Complement (set) Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)”. www.mathsisfun.com. Truy cập ngày 4 tháng 9 năm 2020.
^ Bourbaki 1970, tr. E II.6.
^ ^a ^b ^c Halmos 1960, tr. 17.
^ Devlin 1979, tr. 6.
^ [1] Lưu trữ 2022-03-05 tại Wayback Machine The Comprehensive LaTeX Symbol List

Tham khảo

Bourbaki, N. (1970). Théorie des ensembles (bằng tiếng Pháp). Paris: Hermann. ISBN 978-3-540-34034-8.
Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. ISBN 9780442030643. Zbl 0087.04403.

Liên kết ngoài

Weisstein, Eric W., "Complement" từ MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Complement Set" từ MathWorld.

Bản mẫu:Logic toán học

[1] “Complement and Set Difference”. web.mnstate.edu. Bản gốc lưu trữ ngày 23 tháng 1 năm 2021. Truy cập ngày 4 tháng 9 năm 2020.

[:1-2] “Complement (set) Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)”. www.mathsisfun.com. Truy cập ngày 4 tháng 9 năm 2020.

[Bou-3] Bourbaki 1970, tr. E II.6.

[Halmos-1960-4] Halmos 1960, tr. 17.

[5] Devlin 1979, tr. 6.

[The_Comprehensive_LaTeX_Symbol_List-6] [1] Lưu trữ 2022-03-05 tại Wayback Machine The Comprehensive LaTeX Symbol List

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

x t s Lý thuyết tập hợp
Tiên đề	Tiên đề cặp Tiên đề chính tắc Tiên đề chọn đếm được phụ thuộc toàn cục Tiên đề giới hạn kích thước Tiên đề hợp Tiên đề mở rộng Tiên đề nối Tiên đề tập lũy thừa Tiên đề tính dựng được Tiên đề vô hạn Tiên đề Martin Sơ đồ tiên đề thay thế tuyển lựa
Phép toán	Tích Descartes Phần bù Luật De Morgan Phép giao Tập lũy thừa Phép hợp Liên hiệp rời rạc Hiệu đối xứng
Khái niệm Phương pháp	Lực lượng Số đếm (lớn) Lớp (lý thuyết tập hợp) Vũ trụ kiến thiết Giả thiết continuum Lập luận đường chéo Phần tử (cặp được sắp, bộ) Họ Ép Song ánh Số thứ tự Quy nạp siêu hạn Sơ đồ Venn
Các dạng tập hợp	Đếm được Rỗng Hữu hạn (di truyền) Mờ Vô hạn vô hạn Dedekind Tính được Tập con ⋅ Tập chứa Đơn điểm Bắc cầu Không đếm được Tập hợp phổ dụng
Lý thuyết	Lý thuyết tập hợp thay thế Lý thuyết tập hợp tiên đề Lý thuyết tập hợp ngây thơ Định lý Cantor Zermelo Tổng quát Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Nghịch lý Vấn đề	Nghịch lý Russell Bài toán Suslin Nghịch lý Burali-Forti
Nhà lý thuyết tập hợp	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Thoralf Skolem Willard Quine
Thể loại