Дискримінант

Дискриміна́нт, ви́ріжник (від лат. discriminar — «розбирати», «розрізняти») многочлена $p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$ — за визначенням це добуток

$D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$,

де $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ - всі корені (з урахуванням кратностей) в деякому розширенні основного поля, в якому вони існують.

Властивості

• Дискримінант рівний нулю т. і т. т., коли многочлен має кратні корені.
• Дискримінант є симетричним многочленом щодо коренів многочлена і тому є многочленом від його коефіцієнтів; ба більше, коефіцієнти цього многочлена цілі, тому не залежать від розширення, в якому беруться корені.
• $D(p)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}R(p,p')$, де $R(p,p')$ — результант многочлена $p(x)$ і його похідної $p'(x)$.
  • Зокрема, дискримінант многочлена

    $p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$

    рівний, з точністю до знаку, визначникові такої матриці:

1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	.	.	0
0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	.	0
0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	.	.	.	$a_{0}$
$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	.	.	0
0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	.	0
0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$	0
0	0	0	0	0	0	$n$	$(n-1)a_{n-1}$	$(n-2)a_{n-2}$	.	.	$a_{1}$

Приклади

• Дискримінант квадратного тричлена $ax^{2}+bx+c$ дорівнює $b^{2}-4ac$;
• Дискримінант многочлена $a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ дорівнює

$4a_{1}^{3}a_{3}-a_{1}^{2}a_{2}^{2}+4a_{0}a_{2}^{3}-18a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}+27a_{0}^{2}a_{3}^{2}.$

• Зокрема, дискримінант многочлена $x^{3}+px+q$ (корені якого обчислюється за формулою Кардано) дорівнює: $-27q^{2}-4p^{3}$.

Джерела

• Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)