uendelig – matematikk – Store norske leksikon

I mengdelæren defineres en mengde M som uendelig dersom det er mulig å avbilde M en-entydig på en ekte delmengde av M.

Mengden \(\mathbb{Z}\) av heltallene ±1, ±2, ±3, ... er et eksempel på en uendelig mengde, ettersom korrespondansen «n svarer til 2n» er en-entydig (en injeksjon), og partallene danner en ekte delmengde av \(\mathbb{Z}\).

Vi kan uformelt si at det er «like mange» partall som heltall, og altså definere en mengde som uendelig dersom det finnes en ekte delmengde av mengden som har «like mange» elementer som mengden selv.

Grader av uendelighet

Det finnes ulike «grader» av uendelighet i mengdelæren, og disse gradene angis ved kardinaltall.

Mengden av alle heltall (som er tellbar) har kardinaltallet (kardinaliteten) \(\aleph_0\) (leses som «alef null».

Mengder som er overtellbare (for store til å være tellbare) har andre kardinaltall, som \(\aleph_1, \aleph_2,\aleph_3,\ldots\). Mengden av alle reelle tall er overtellbar, og har kardinaliteten \(2^{\aleph_0}\).

Cantors kontinuumshypotese sier at \(2^{\aleph_0}=\aleph_1\), men dette kan verken bevises eller motbevises ut fra de vanlige aksiomene i mengdelæren, altså det formelle systemet ZFC.

Uendelighet på andre områder i matematikken

I matematisk analyse opptrer begrepet uendelig i forbindelse med grenseprosesser. Vi sier for eksempel at summen \(1 + 2 + \ldots + n\) går mot uendelig når n går mot uendelig, og dette skrives

\[\lim_{n \to \infty} (1 + 2 + \dotsc + n) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n i = \infty\]

Det ligger helt presise matematiske definisjoner bak denne språkbruken. Det samme gjelder når man i projektiv geometri for eksempel snakker om uendelig fjerne punkter og linjer.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer

Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.

Du må være logget inn for å kommentere.

Fagansvarlig for Matematisk logikk

Eyvind Martol Briseid

OsloMet – storbyuniversitetet