rom (matematikk)

Noe upresist sier en topologisk struktur noe om geometrien, eller sammensetningen til rommet. Et eksempel kan være en mengde med et atlas. Et atlas beskriver hvordan rommet kan limes sammen av biter som ser ut som flatt euklidsk rom. Dette kan tenkes på som å ta mange flate kart over hele jordkloden, altså et helt atlas, som til sammen beskriver jordas runde form. Et rom av denne typen kalles en mangfoldighet, og brukes hyppig i blant annet robotikk og kybernetikk.

Den mest grunnleggende topologiske strukturen kalles forvirrende nok for en topologi. En topologi bestemmer hvilke punkter i rommet som ligger «nær hverandre», uten å nødvendigvis vite hvor nær, eller engang hva «nær» betyr. En mengde med en topologi kalles et topologisk rom. Ved hjelp av en topologi kan man for eksempel definere hva det vil si at en funksjon mellom to rom er en kontinuerlig funksjon. En kontinuerlig funksjon \(f\colon X\to Y\) er da en funksjon som sender punkter som ligger nær hverandre i \(X\), til punkter som ligger nær hverandre i \(Y\).

Andre eksempler på topologiske strukturer kan være symplektiske mangfoldigheter, som brukes i klassisk mekanikk, og projektive varieteter, som brukes i kryptografi.

Ofte er man interessert i å kunne måle diverse ting på rommet man bruker. For eksempel kan dette være å måle lengde eller vinkler. Slike strukturer kan som regel beskrives ved hjelp av funksjoner. For eksempel kan avstanden mellom to punkter på et matematisk rom S tenkes på som en funksjon \(d\colon S\times S\to \mathbb{R}\). Funksjonen tar inn de to punktene \(x\) og \(y\) på rommet \(S\) og gir ut avstanden mellom dem, \(d(x,y)\). En slik funksjon som måler lengde kalles ofte for en metrikk, og en mengde sammen med en metrikk kalles for et metrisk rom.

Et eksempel kan være hvordan man måler avstander på jordas overflate. Korteste avstand fra ett punkt til et annet finner man ved å følge en storsirkel og ikke en vanlig rett linje.

Når vi har en måte å måle avstand på, altså en metrikk, vet vi også hvor «nære» punkter er. Dette definerer en topologi på rommet, som vil si at hvert metrisk rom også er et topologisk rom. Slik kan ulike rom ha flere typer strukturer som samarbeider med hverandre.

En ordensstruktur gir oss informasjon om hvordan elementer forholder seg til hverandre, ofte via en form for størrelse. For eksempel er tallet \(5\) større enn tallet \(3\), så heltallene har innebygd en naturlig ordning.

Ordensstrukturer kan for eksempel gi oss informasjon om dimensjonen til et rom, eller om deler av rommet har en eller annen definert retning, slik som i en rettet graf eller et nettverk.

• matematikk
• geometri
• topologi