matematikk

Matematikk er nært knyttet til oppfinnelsen av skrift. Konsis representasjon av påstander ved hjelp av symboler gir mulighet til å overveie sammensatte ideer og den eksakte ordlyden. Skrift gjør det også mulig å bevare og spre kompleks kunnskap over tid og avstander.

Jus og matematikk som fag er begge forankret i skriftkultur og legger vekt på argumentasjon. De oppsto i samme historiske kontekst.

Matematikk berører flere temaer av filosofisk interesse. Mange sentrale filosofer, fra Platon og Aristoteles i antikken til Edmund Husserl og Ludwig Wittgenstein i nyere tid, har skrevet om matematikk. René Descartes representerer et vendepunkt både i matematikk- og filosofihistorien. Blant temaene som har vært tatt opp er matematiske objekters natur, meningen med uendelighet og tillatte bevistyper. Matematisk sannhet har alltid vært en fascinerende referanse: på den ene siden absolutt, men på den andre siden tilsynelatende snever.

Frem til renessansen ble matematikken sett på som en del av de syv frie kunstene og var en grunnsten i dannelsen. Matematikkstudiet (kalt quadrivium) omfattet ikke bare aritmetikk og geometri, men også musikk og astronomi. I samtiden har det blitt trukket paralleller fra matematikken til poesien ved sin språksans, til musikken ved sin abstraksjon og til arkitekturen ved sin oppbygning. Strukturalismen i humanvitenskapene, OULIPO-gruppen i litteraturen og noen moderne komponister har eksplisitte referanser til matematikk.

Mange rekreasjonelle spill innebærer strategisk, logisk tenkning og risikovurdering. Det gir dem matematiske sider som kan formaliseres ved hjelp av den matematiske grenen spillteori. Gåter kan være matematiske av natur, fra Zenons paradokser til fangens dilemma og Monty Hall-problemet. Magiske kvadrater har blitt studert i flere kulturer og gir et bilde på mønstre som går opp på mirakuløst vis. Flere liker å bryne seg på matematiske nøtter.

Det har vokst frem en større bevissthet rundt urbefolkningers og andre ikke-vestlige kulturers bruk av og innsikt i matematikk. Mange kulturelle praksiser og håndverkstradisjoner kan ha et matematisk preg. Forbindelsen studeres i det relativt nye fagfeltet etnomatematikk.

Matematikk kan trekke tusenårige linjer tilbake til helligheter i sivilisasjoner fra Egypt, Kina, Hellas, India med flere. Den egyptiske guden Thot (avbildet med ibishode og noen ganger som bavian) og hans datter Seshat symboliserte en kombinasjon av visdom, magi, skrift og måling hvor matematikk naturligvis også inngikk. Den kinesiske grunnteksten I Ching (cirka 1000 år fvt.) innførte et binært tellesystem (basert på yin og yang i 64 såkalte heksagrammer) som senere skulle inspirere Gottfried Leibniz i hans refleksjoner over likhetstrekk mellom logiske sannhetsverdier og tall. For pytagoreerne var matematikk knyttet til en mystisk kontemplasjon av guddommelige harmonier.

Anerkjennelsen av null som et tall, og ikke bare som en plassholder i titallsystemet, oppsto i India, spesielt med Brahmagupta (cirka 598–665 evt.). Hinduismen utgjorde en fruktbar kulturell kontekst ved å gi rom til tomhet kalt sunya, som også ble brukt som navn på det nye tallet, og omfavne formløshet og uendelighet som essensielle egenskaper ved det underliggende kosmiske prinsippet, brahman.

Skjønnheten i alt fra havskjell til solsikker, til katedraler kan utdypes ved hjelp av matematiske tilnærminger.

I alle vitenskaper brukes matematikk til å formulere grunnleggende lover og å lage modeller. Modeller er abstrakte beskrivelser av fenomener ved hjelp av matematiske konsepter. Modeller kan studeres på egne premisser ved hjelp av argumentasjon og beregning. Matematiske metoder gjør det mulig å forutsi andre sider av disse fenomenene og gir oss en mer presis forståelse av dem. Noen ganger kan de rette på en feilaktig intuisjon. Modeller, konfrontert med forutsigelser og eksperimentering, korrigeres og justeres slik at teori og empiri samstemmer best mulig.

For at modeller skal ha verdi bør man forstå deres begrensninger. Dette kan gjøres ved å estimere feilkilder og effekten av slike feil på prediksjonene. Det gjøres også ved å sammenlikne med andre modeller og med observasjoner.

Modeller utvikles nokså uavhengig av hverandre i forskjellige fagkretser. Det er mange tenkemåter, mye terminologi og mye kunnskap som skal integreres i en prosess hvor modellering inngår. I sin tur kan modellering utvide kunnskapen vår. Allerede i 1597 profeterte Francis Bacon at teknovitenskapelig kunnskap gir makt.

I økonomisk sammenheng kan modellering hjelpe med å utvikle varer for et marked, for eksempel ved å støtte design (spesifikasjon) og optimering (av designparametre) eller å redusere behov for å lage fysiske prototyper. Modeller hjelper også økonomiske og politiske aktører med å ta strategiske valg, da de kan gi et mer presist bilde av konsekvenser.

For matematikere selv fremstår matematikken annerledes. Alle verktøyene og resultatene vi nå har til disposisjon utgjør et gigantisk korpus som forvaltes og videreutvikles av profesjonelle.

Matematikk fremstilles gjerne i en aksiomatisk-deduktiv form. Den gjør det klart hva som er premisser, hva som er konklusjoner og hvordan disse er utledet. De aller mest grunnleggende matematiske premissene kalles aksiomer. Resultater som utledes kalles læresetninger, proposisjoner eller, dersom de anses som ekstra viktige, teoremer. Disse resultatene omhandler ofte begreper som har blitt innført underveis. Lærebøker, monografier og artikler vil også gjøre det klart hva som er motivasjonen for konseptene som introduseres og resultatene som vises. De vil diskutere eksempler. Bøker vil organisere definisjoner, teoremer og bevis i en helhet. Gitt at det er så stor enighet rundt matematikk på bachelor- og masternivå, vil det som skiller lærebøker ofte være variasjoner i temaer, rekkefølger, fremstillingsmåter, stil og oppgaver.

Forskning i matematikk kan ta mange former. Man kan betrakte et nytt fenomen, fra matematikken selv eller utenfra, formulere aksiomer om det og utlede konsekvenser. Kanskje er det mer nærliggende å forsøke å skape et konsept som skal gjøre det lettere å beskrive mange situasjoner med noen likhetstrekk. Ofte er det slik at man har sett et mønster blant mange objekter man studerer. Da består jobben i å formulere denne innsikten og bevise påstanden. Hypoteser kan falsifiseres, blant annet ved å finne moteksempler. Noen ganger er det en annen som har sett en interessant sammenheng og offentliggjort den, alt fra en mindre formodning til et helt program. Mange bidrar til slike programmer ved å forsøke å fylle i små og store hull.

En litt annen type aktivitet består i å forsøke å fremstille et objekt med visse egenskaper som virker interessante. Når nye objekter innføres for å gjøre rede for et fenomen eller som byggesteiner i en teori oppstår det klassifiseringsproblemer. Matematikere forsøker da å systematisere alle slike objekter. Det utvikles også nye algoritmer som automatiserer forskjellige typer beregninger.

Matematiske sannheter er evige, men det hender at resultater generaliseres eller omtolkes slik at et resultat får en ny plass i den matematiske helheten. Dette er en fordøyelsesprosess som kan involvere flere generasjoner matematikere. Euklidsk geometri ses nå på bare som et eksempel blant mange mulige geometrier. Matematikere generaliserer teorier og utarbeider interessante eksempler. De bearbeider språket og de konseptuelle rammene.

I matematikk er det en viss frihet i valg av definisjoner og argumenter. Det er også valg involvert i hva som anses verdt å si, blant alt som er sant. Valgene som gjøres er ofte motivert både av effektivitet og estetikk. I etterkant kan valgene virke naturlige, til og med opplagte. Matematikere nøler ikke med å omtale noen objekter og argumenter som vakre. Det diskuteres fortsatt om matematisk innsikt er oppdaget eller skapt. Begge uttrykkene opptrer i måten matematikere ordlegger seg på.

Matematikere har gjennom historien innført mange symboler for å representere matematiske objekter og å uttrykke matematiske utsagn presist og konsist. God notasjon kan være til stor hjelp for utregninger og for kommunikasjonen. De første eksemplene på det var forskjellige systemer for å representere tall. Det romerske tallsystem ble overgått av titallsystemet fordi sistnevnte er mer effektivt å regne med. Begge systemene er i utgangspunktet knyttet til menneskekroppen. For datamaskiner er totallsystemet naturlig.

Når matematikere innfører et nytt begrep, gir de det et navn som kan være hentet fra dagligtalen, med en presisert mening, en nydannelse (neologisme) eller et egennavn (typisk navn på oppfinner eller foregangsperson). Disse begrepene får en helt presis definisjon ved hjelp av allerede definerte begrep, som kan føres helt tilbake til aksiomene.

Matematikere benytter seg av mange typer illustrasjoner. En geometrisk figur beskriver ofte bare ett eksempel blant mange mulige. Noen ganger vil tegninger være ufullkomne, til og med feilaktige. For å få en intuisjon på situasjonen, for eksempel i rom med flere enn tre dimensjoner, må man sjonglere mellom slike representasjoner. Slike bilder kan være til stor hjelp når stringente argumenter skal utformes, men er ikke matematikk i seg selv.

I David Hilberts aksiomatisering av romgeometrien er punkt, linje og plan grunnbegreper som er underordnet relasjoner kalt insidens, mellomhet og kongruens. Det viktige er ikke ordene i seg selv men at bruken av disse ordene presiseres gjennom aksiomer som uttrykker utsagn vi tar for gitt og som vi tillater oss å bruke i argumenter. Linjestykker, triangler og vinkler er her sekundære begrep som defineres på dette grunnlaget. I denne rammen argumenterer man seg frem til noe, gjerne et teorem. Noen av ordene vil forbli udefinert i matematisk forstand: man gir for eksempel ikke noen definisjon av linje. Man kan derfor prøve å forestille seg at ordene betegner objekter som lever i en annen kontekst enn den tiltenkte, for eksempel på en (tredimensjonal) sfære i stedet for et flatt rom. Kanskje en linje i flatt rom tilsvarer en stor sirkel på en sfære. Dette kan belyse de opprinnelige premissene og konklusjonene som ble trukket.

Både flat og sfærisk geometri kan innlemmes i mengdeteorien som formaliserer vår intuisjon om samlinger. I så fall kan linjer og sirkler defineres som visse mengder av punkter. Selv om vi nå ofte tar dette synspunktet for gitt, var det ikke slik ting ble formulert i antikken. Innenfor mengdeteorien kan man diskutere generelle geometrier som introdusert av Carl F. Gauss og Bernhard Riemann. Da er både linjestykker og sirkelbuer eksempler på korteste vei mellom gitte punkter. Slike begreper er viktige i alt fra orienteringsløp til Albert Einsteins relativitetsteori.

Uendeligdimensjonale hilbertrom er et annet eksempel på matematisk begrep som bygger på flere lag av andre begreper. Det blir som regel ikke undervist før mot slutten av et bachelorstudium. Det krever en solid forståelse av tidligere universitetsemner som kalkulus og lineær algebra. Hilbertrom-begrepet ble utviklet for kvantemekanikkens behov i begynnelsen av 1900-tallet, men er i dag viktig i mange andre grener av matematikken, også i tallteorien (via harmonisk analyse).

Konseptet derivasjon er blant de mest universelle i matematikken. Derivasjon kan forstås som en tolkning av hastighetsbegrepet i fysikk og er nært knyttet til tangenter i geometri. Det kan defineres matematisk som en grenseverdi, men opptrer også som en algebraisk operasjon som tilfredsstiller Leibniz' regel, som en ubegrenset operator i analysens forstand og som en operasjon som er omvendt av integrasjon (arealutregning).

På International Congress of Mathematicians (ICM) i 1900 formulerte David Hilbert 23 åpne problemer. Noen er presise, som Riemanns hypotese, mens andre er vage, som å identifisere et godt rammeverk for randverdiproblemer. Problemene ble innflytelsesrike utfordringer og veiledet flere forskningsprosjekter. Løsninger ble sett på som milepæler. Clay Millennium Prize Problems ble presentert i 2000 og bestod av sju uløste problemer ansett som sentrale i matematikken.

I løpet av 1900-tallet fungerte formodninger fremsatt av André Weil som rettesnor for en fornying av hele feltet algebraisk geometri ved spesielt Jean-Pierre Serre, Alexandre Grothendieck og Pierre Deligne. Klassifisering av endelige simple grupper er et annet eksempel på innflytelsesrikt program som nå er løst. Man anser at en fullstendig oversikt ville utgjøre over 10 000 sider.

Et av de aller største gjennombruddene i matematikk på 2000-tallet gjaldt den over hundre år gamle Poincaré-formodningen. Den er et resultat i algebraisk topologi som omhandler hvordan abstrakte rom henger sammen, hvordan løkker i rommet kan kombineres og deformeres. Den var gjenstand for et av Clay-problemene, og ble løst av Grigori Perelman ved hjelp av partielle differensiallikninger etter en strategi initiert av Richard Hamilton. Perelman beviste faktisk et sterkere resultat kalt geometriseringsformodningen, introdusert av William Thurston. Dermed har vi et samspill av tre matematiske grener: algebraisk topologi, partielle differensiallikninger og geometri (Lie-grupper). Disse tre grenene utviklet seg fra et felles grunnlag i analysen, men kom her sammen igjen på uventet vis. Dette var med på å styrke såkalt geometrisk analyse som eget forskningsfelt.

Algebra:

• logikk, mengdelære og fundament
• algebraisk geometri
• ikke-kommutative eller ikke-assosiative ringer
• gruppeteori
• representasjonsteori
• tallteori: algebraisk og analytisk
• geometri: euklidsk, ikke-euklidsk, projektiv, kompleks
• diskret matematikk: grafteori, kombinatorikk, automater
• kategoriteori

Analyse:

• topologi: generell og algebraisk
• kompleks analyse: én og flere variable
• målteori, sannsynlighetsteori
• statistikk, dataanalyse
• ordinære differensiallikninger, dynamiske systemer
• partielle differensiallikninger: lineære, ikke-lineære
• differensialgeometri
• harmonisk analyse
• konveks analyse og optimering
• lineær algebra, funksjonalanalyse
• operatoralgebraer
• numerisk analyse

Matematikk i interaksjon med andre fag:

• teoretisk informatikk
• signal- og bildebehandling
• mekanikk: fluider og faststoff
• matematisk fysikk og kjemi
• matematisk biologi
• matematisk økonomi, spillteori
• historie, filosofi
• didaktikk, formidling

Matematikken påvirker en stadig større del av økonomien. Dette kommer av at matematikk er en bærebjelke for informasjonsteknologi. Fagene matematikk og informatikk samspiller og utnytter regnekapasiteten som datamaskiner gir. Noen ganger kan nyutviklet matematisk innsikt være avgjørende i konkurransesituasjoner. Siden andre verdenskrig er det knyttet store strategiske interesser til dette, både sivilt og militært.

Under andre verdenskrig var matematikere viktige brikker i utviklingen av atombomben under Manhattan-prosjektet og kodeknekkingen i Bletchley Park. Begge bidro sterkt til de alliertes seier. Matematiske grener som optimering og spillteori ble også innført på denne tiden, og har blitt videreutviklet i og utenfor akademia, for eksempel gjennom stiftelser som RAND i USA eller SINTEF i Norge. Siden den tid har matematikere vært systematisk involvert i militære aktiviteter. Etterretningsorganisasjonen National Security Agency (NSA) er en av verdens største arbeidsgivere for matematikere. Defense Advanced Research Projects Agency (DARPA) finansierer prosjekter av militær interesse drevet av sivile.

Flere store multinasjonale selskaper har oppnådd sin dominerende posisjon ved å utvikle teknologi der matematikk har spilt en viktig rolle. Matematikere bidro til å gjøre det mulig med olje- og gassutvinning i Nordsjøen blant annet ved å simulere flerfasestrømninger i rør, og beregne statikken i de enorme stål- og betongkonstruksjonene. Utviklingen av søkemotorer for Internett er et annet eksempel på aktivitet hvor matematisk innsikt gir økonomisk makt. Språkmodeller, maskinlæring og kunstig intelligens, som alle har en matematisk kjerne, har stort potensial til å endre samfunn.

Matematikk kan belyse mange av de utfordringene vi står overfor både nasjonalt og globalt. Den bidrar til modellering av klimaet og økosystemer. Det kan i sin tur brukes til å skape mer pålitelige beslutningsgrunnlag, enten det gjelder å kartlegge konsekvenser av politiske valg eller å utforme tiltak for å møte de klimaendringene vi begynner å se. Matematikere bidrar også til det grønne skiftet for eksempel gjennom utvikling av teknologi relatert til produksjon og distribusjon av fornybar energi. Matematisk innsikt kan brukes til å forbedre politiske og økonomiske styringsmekanismer og fremme fredelig samarbeid.

Matematikere har kunnet nyte relativt stor frihet under mange politiske regimer, muligens fordi de forvalter en type makt som er uavhengig av ideologi. De har engasjert seg i mange sider av samfunnsutviklingen, og noen ganger med motstridende standpunkt i de komplekse debattene rundt blant annet industri, økologi, levestandard, personlige friheter, forsvar og pasifisme. Moderne matematikk påvirker samfunnet og individers liv. I nyere tid har oppmerksomhetsøkonomien, generativ kunstig intelligens og autonome våpensystemer, som alle involverer matematisk formulerte algoritmer, kommet i søkelyset. Disse utviklingene inviterer til en mer dyptgripende tilnærming til etiske problemstillinger.

Det finnes flere matematikk-konkurranser. For unge har man i Norge Abel-konkurransen, mens det internasjonalt er en matematikkolympiade, International Mathematical Olympiad (IMO). Det finnes også mange priser. De aller mest prestisjetunge er Fields' medalje som siden 1936 har blitt tildelt matematikere under 40 år av IMU, og Abelprisen som siden 2003 har blitt utdelt av Det Norske Videnskaps-Akademi.

Det arrangeres flere hundre internasjonale konferanser i matematikk hvert år. De kan være mer eller mindre spesialiserte. Den største er International Congress of Mathematicians (ICM) som holdes hvert fjerde år. Den første fant sted i Zurich 1897. I 1936 ble den arrangert i Oslo. Den første International Congress on Industrial and Applied Mathematics (ICIAM) ble arrangert i 1987 i Paris. Den holdes også hvert fjerde år og er nå omtrent like stor som ICM.

Gjennom historien har det vært et stort flertall av menn blant matematikere, men til enhver tid har det også vært eksempler på fremragende kvinner. Kjønnsubalansen har blitt mindre. I nyere tid kan vi nevne viktige matematikere som Sofia Kovalevskaya, Emmy Noether, Olga Ladyzhenskaya, Karen Uhlenbeck, Claire Voisin, Ingrid Daubechies og Maryam Mirzakhani.

I Norge er Elizabeth Stephansen, Jacqueline Naze Tjøtta og Idun Reiten eksempler på markante kvinnelige matematikere. Et norsk nettverk for kvinner i matematikk ble opprettet i 2021.

• Caspar Wessel (landoppmåling og komplekse tall)
• Vilhelm Bjerknes (bruk av partielle differensiallikninger i meteorologi)
• Kristian Birkeland og Carl Størmer (studie av nordlys)
• Ragnar Frisch og Trygve Haavelmo (bruk av statistikk for økonomistyring)
• Lars Onsager (statistisk fysikk)

Matematiske innsikter kan være slående. Dette var tilfellet spesielt for teoremet oppkalt etter Pytagoras fra rundt år 500 fvt. Dette resultatet var tidligere kjent utenfor den greske kulturkretsen. I India, Kina og Mesopotamia hadde man kommet frem til liknende resultater med varierende grad av generalitet i utsagnet og stringens i argumentasjonen. Bestemmelsen av såkalte pytagoreiske tripler gir også praktiske metoder for å lage rette vinkler ved hjelp av tau, til bruk i byggekunsten.

Aritmetikk og geometri var hovedtemaene i Euklids verk Elementene fra rundt år 300 fvt. Dette verket innlemmet og systematiserte en rekke resultater i en logisk ramme og var en triumf for den aksiomatiske metode. Elementene var en kulturell referanse i nærmere 2000 år og har blitt kalt verdens mest fremgangsrike lærebok. Under middelalderen var arabiske læresteder viktige for bevaringen og videreutviklingen av den greske matematikken. Det har gitt oss ord som algebra og algoritme.

Først i forbindelse med renessansen ble den greske matematikken, med sine høydepunkter i Euklid og Arkimedes, virkelig overgått. Man oppdaget formler for å løse tredje- og fjerdegradslikninger ved hjelp av vanlige regnearter og rotutdragning. Dette ga et første møte med komplekse tall. Deretter, og minst like viktig, ble kalkulus oppfunnet av Isaac Newton og Gottfried Leibniz. For Newton var dette verktøyet nært knyttet til formuleringen av naturlover. Leibniz ønsket på sin side å utforme et universelt språk med logisk beregning (characteristica universalis). Matematisk formulerte naturlover og modellering i samspill med teknologiutvikling skulle etter hvert bidra til å forandre både verdensbilder og levesett.

Kalkulus blomstret i flere århundrer uten at det hvilte på et solid logisk grunnlag i henhold til det greske idealet. Det møysommelige arbeidet med å skape et stringent grunnlag for matematikken ledet mot slutten av det 1800-tallet til paradokser og kontroverser. Perioden 1870–1930 kalles fundamentskrisen. I løpet av denne tiden fikk matematisk logikk og mengdeteori en form som de fleste matematikere i dag anser som tilfredsstillende til bruk som språk og grunnlag for resten av matematikken.

I løpet av 1900-tallet vokste matematikk enormt i volum. I noen sammenhenger kan en inndeling i ren og anvendt matematikk være hensiktsmessig. Den reflekterer at forskningen kan være opptatt av internt definerte problemstillinger, eller problemstillinger knyttet opp mot andre vitenskaper eller teknologier. I praksis kan skillet reflektere forskjeller i intensjon mer enn type aktivitet, eller konvensjoner som forandres over tid og er forskjellige fra land til land. Felles for alle matematikere er at de forsøker å utvikle eller videreutvikle konsepter, oppdage nye setninger og gi bevis for dem.

Den økte fragmenteringen, som kan ses i de fleste kunnskapsgrener, er reell, men matematikere gleder seg stadig over at store problemer blir løst ved å koble sammen grener på uventede måter. Kategoriteori er et relativt nytt felt som har som ambisjon å skape felles teoretiske rammer for flere grener, muligens ut over matematikkens grenser.

Siden andre verdenskrig har matematiske utregninger i større grad blitt utført ved hjelp av datamaskiner. Matematikere har vært sentrale i utviklingen av informatikk som vitenskap, og de bidrar til utforming av både maskinvare og programvare. I sin tur har regnekraften datamaskiner gir utvidet matematikkens virkningsområde enormt.