algebra

Noen eksempler på algebraiske systemer er gruppe, ring, kropp og vektorrom (lineær algebra). Slike systemer finnes i alle områdene av matematikken. Et slikt system består av en mengde hvor det er definert én eller flere operasjoner som oppfyller visse betingelser (assosiativitet, kommutativitet, distributivitet og så videre).

Det at elementene i gitte abstrakte algebraiske systemer ikke er spesifisert nærmere, men i ulike forbindelser kan tolkes som tall, transformasjoner, polynomer, funksjoner og så videre, gjør at algebraen får et vidt anvendelsesområde.

Siden begynnelsen av 1900-tallet har algebraen hatt særlig stor betydning for geometriens utvikling (algebraisk geometri og algebraisk topologi). Den har også spilt en rolle innenfor diverse områder av anvendt matematikk, for eksempel gjennom gruppeteoriens anvendelse i moderne fysikk. Teorien for boolske algebraer har avgjørende betydning for konstruksjonen av datamaskiner.

I sosiale vitenskaper, psykologi og økonomi bruker man matriser og lineær algebra i det som kalles lineærprogrammering eller matematisk programmering.

Begrepet algebra ble opprinnelig brukt identisk med ligningsteori, og helt til begynnelsen av 1800-tallet faller historien for de to grenene av matematikken sammen.

Ordet stammer fra tittelen på den arabiske matematikeren Mohamed Ibn Musa Al-Khwarizmîs lærebok Algebr wal muqabala («Gjenopprettelse og forenkling») som betegner to forenklingsmåter for ligninger.

Allerede babylonerne (2000–1500 fvt.) hadde et høyt utviklet algebraisk system, mens Ahmes regnebok (nå kjent som Papyrus Rhind, 1700 fvt.) gir eksempler på egyptisk algebra. Den greske matematiske skole var mer rettet mot geometri, men den senere aleksandrinske perioden har fremragende algebraikere som Diofantos (ca. 270 evt). Noe senere oppstår den indiske algebraiske skole (Brahmagupta, Bhaskara).

Gjennom araberne ble den indiske og greske algebraen smeltet sammen (Al-Khwarizmî), ca. 820 evt. og overført til Vest-Europa, særlig til Italia. Her ble de første store fremskrittene siden den antikke algebra gjort ved Scipione del Ferro og Niccolò Tartaglias løsning av tredjegradsligningen og L. Ferraris løsning av fjerdegradsligningen, begge offentliggjort først i Girolamo Cardanos Ars Magna (1545). Disse resultatene var oppnådd uten formler, men så kompliserte problemer fremtvang snart en forenkling gjennom et systematisk tegnspråk.

Allerede tidlig finner man tilløp til formalisering. For eksempel betegner Ahmes regnebok den ukjente med hau (mengde). I Italia brukte man uttrykket cosa (tingen), hvorav den tidlige engelske og tyske betegnelsen cossregning for algebra er avledet.

Den franske matematikeren François Viète innførte først bokstaver for de forekommende størrelser (1591). Det er her den populære betegnelsen bokstavregning for algebra kommer fra. Bruken av de første bokstavene i alfabetet a, b, c for å betegne kjente størrelser og de siste bokstavene x, y, z for ukjente ble tatt i bruk av René Descartes.

Den videre formaliseringen foregikk deretter raskt. For eksempel ble de vanlige potens- og rot-betegnelsene innført av Albert Girard, Descartes og Isaac Newton. Ved de grunnleggende arbeidene av Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel og Évariste Galois i første halvdel av 1800-tallet ble noen av ligningsteoriens hovedproblemer brakt til en viss avslutning, og fra denne tid av danner algebra en egen lærebygning, som ligningsteorien bare er en del av.

• matematikk
• matematikkens historie
• ligning