Проблема Варинга

Проблема Варинга — теоретико-числовое утверждение, согласно которому для каждого целого $n>1$ существует такое число $k=k(n)$ , что всякое натуральное число $N$ может быть представлено в виде:

x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=N\quad

с целыми неотрицательными $x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{k}$ .

Как гипотеза предложена в 1770 году Эдуардом Варингом^[1]^[2], доказана Гильбертом в 1909 году. Уже после доказательства вокруг вопросов, как связанных с доказательством основной проблемы, так и с различными вариантами и обобщениями, проведено значительное количество исследований, в рамках которых получены примечательные результаты и развиты важные методы; в Математической предметной классификации проблеме Варинга и связанным с ней исследованиям посвящён отдельный раздел третьего уровня^[3].

Основные результаты

До XX века проблему удавалось решить только в частных случаях, например, теоремой Лагранжа о сумме четырёх квадратов установлено $k=4$ для проблемы в случае $n=2$ .

Первое доказательство справедливости гипотезы было дано в 1909 году Гильбертом^[4], оно было весьма объёмным и строилось на сложных аналитических конструкциях, включая пятикратные интегралы.

В 1920 году новое доказательство этой же теоремы дали Харди и Литлвуд, разработав для этого специальный круговой метод^[5]. Они ввели две функции — $g(n)$ и $G(n)$ ; $g(n)$ — наименьшее $k$ такое, что проблема Варинга разрешима при $N\geqslant 1$ ; $G(n)$ — наименьшее $k$ такое, что проблема Варинга разрешима при $N\geqslant N_{0}(n)$ . (Ясно, что $G(n)\leqslant g(n)$ .) Харди и Литтлвуд дали для $G(n)$ оценку снизу $n<G(n)$ , которая по порядку и по константе в общем случае не улучшена по состоянию на 2010-е годы, и оценку сверху, которая впоследствии была радикально улучшена. Эта функция с тех пор называется функцией Харди. Они также получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга.

Таким образом, в результате исследования проблемы Варинга были разработаны мощные аналитические методы. Однако Линник в 1942 году нашёл доказательство основной теоремы на базе элементарных методов^[6].

Функция $g(n)$ известна. Для более фундаментальной функции $G(n)$ получен ряд оценок сверху и снизу, однако её конкретные значения неизвестны даже для малых $n$ .

Функция g(n)

Иоганн Эйлер, сын Леонарда Эйлера, предположил около 1772 года^[7], что:

g(n)=2^{n}+[(3/2)^{n}]-2

.

В 1940-е годы Леонард Диксон, Пиллай (англ. Subbayya Sivasankaranarayana Pillai), Рубугундай (англ. R. K. Rubugunday) и Нивен^[8] с учётом результата Малера (нем. Kurt Mahler)^[9] доказали, что это верно за исключением конечного числа значений $n$ , превышающих 471 600 000. Существует гипотеза, что эта формула верна для всех натуральных чисел.

Несколько первых значений $g(n)$ :

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16 673, 33 203, 66 190, 132 055, …^[10]

Примечательно, что, например, для $n=3$ только числа 23 и 239 не представимы суммой восьми кубов.

Функция G(n)

В 1924 году Виноградов применил к проблеме Варинга свой метод тригонометрических сумм^[11], это не только сильно упростило доказательство, но и открыло путь к принципиальному улучшению оценки для $G(n)$ . После целого ряда уточнений он в 1959 году доказал, что:

G(n)<2n\log n+4n\log \log n+2n\log \log \log n+13n

.

Применяя сконструированную им $p$ -адическую форму кругового метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана — Виноградова к оценкам тригонометрических сумм, в которых суммирование ведётся по числам с малыми простыми делителями, Карацуба в 1985 году улучшил^[12] эту оценку. При $n\geqslant 400$ :

G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n

.

В дальнейшем оценку улучшил Вули, сначала в работе 1992 года^[13], затем — в 1995 году^[14]:

G(n)\leqslant n\log n+n\log \log n+2+O(n\log \log n/\log n)

.

Воган и Вули написали о проблеме Варинга объёмную обзорную статью^[15], в которой результат Карацубы, опубликованный в 1985 году, относят к публикации Вогана 1989 года^[16].

Границы^[15]
4 ≤ G(2) ≤ 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 ≤ G(4) ≤ 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

Фактически величина $G(n)$ известна только для двух значений аргумента, именно $G(2)=4$ и $G(4)=16$ .

Сумма квадратов: G(2)

В соответствии с теоремой Лагранжа любое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел. Также легко показать, что числа, дающие остаток 7 при делении на 8, не представимы в виде суммы менее чем 4 квадратов. Таким образом $G(2)=4$ .

Сумма кубов: G(3)

Легко доказать, что $G(3)\geqslant 4$ . Это следует из того, что кубы всегда сравнимы с 0, 1 или −1 по модулю 9.

Линник доказал, что $G(3)\leqslant 7$ в 1943 году^[6]. Компьютерные эксперименты позволяют предположить, что эта оценка может быть улучшена до 4 (то есть $G(3)=4$ ), так как из чисел, меньших 1.3⋅10⁹, последнее число, которое потребует шесть кубов это 1 290 740, и количество чисел между N и 2N, требующих пять кубов, падает при увеличении N с достаточно большой скоростью^[17]. Наибольшее известное число, которое, возможно, не представимо в виде суммы четырёх кубов, это 7 373 170 279 850, и есть основания думать, что это наибольшее такое число^[18]. Любое неотрицательное число можно представить в виде 9 кубов, и существует гипотеза, что наибольшие числа, требующие минимум 9, 8, 7, 6 и 5 кубов, это 239, 454, 8042, 1 290 740 и 7 373 170 279 850^[19] соответственно, а их количество — 2, 17, 138, 4060, 113 936 676^[19] соответственно.

Сумма четвёртых степеней: G(4)

Известно значение для $G(4)$ — это 16. Этот результат доказал в 1930-е годы Дэвенпорт^[20].

Для чисел вида 31·16ⁿ необходимо по крайней мере шестнадцать четвёртых степеней.
Число 79 требует 19 четвёртых степеней.
Число 13 792 требует 17 четвёртых степеней.

Любое число, большее 13 792, может быть представлено в виде суммы не более чем шестнадцати четвёртых степеней. Это было доказано для чисел, меньших 10²⁴⁵ в 2000 году^[21], а для остальных чисел в 2005 году^[22] улучшением результата Дэвенпорта.

Сумма пятых степеней: G(5)

617 597 724 — это последнее число, меньшее 1.3⋅10⁹, которое потребует 10 пятых степеней, и 51 033 617 — это последнее число, меньшее 1.3⋅10⁹, которое потребует 11. На основании компьютерных экспериментов есть основания полагать, что $G(5)<G(4)$ .

Помимо точных значений $G(n)$ открытым остаётся вопрос и о числе решений проблемы Варинга при заданных параметрах и ограничениях. В посвящённых этому вопросу работах возможны формулировки вида: «проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми»^[23].

Обобщения

Проблема Варинга — Гольдбаха

Проблема Варинга — Гольдбаха ставит вопрос о представимости целого числа суммой степеней простых чисел, по аналогии с проблемой Варинга и проблемой Гольдбаха.

Хуа Ло-кен, используя улучшенные методы Харди — Литлвуда и Виноградова, получил для числа простых слагаемых оценку сверху $O(n^{2}\log n)$ ^[24].

На официальном сайте механико-математического факультета МГУ по состоянию на 2014 год утверждается, полное решение проблемы Варинга — Гольдбаха в 2009 году нашёл Чубариков^[25], однако в единственной статье 2009 года^[26] даётся решение задачи, лишь в некотором смысле сходной с проблемой Варинга — Гольдбаха^[27].

Точность представления целого числа суммой степеней

Обобщением проблемы Варинга можно считать вопрос о точности представления целого числа суммой степеней целых, не решенный даже для степени равной $2$ .

Все натуральные числа, за исключением чисел вида $4^{m}(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots ,$ представимы в виде $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ . Естественно возникает вопрос: как близко к заданному числу $N$ можно подойти суммой двух квадратов целых чисел? Так как $(n+1)^{2}-n^{2}=2n+1$ и правая часть этого равенства имеет порядок корня квадратного из $n^{2}$ , то одним квадратом можно подойти к $N$ на расстояние порядка $N^{1/2}$ . Следовательно, суммой двух квадратов можно подойти к $N$ на расстояние порядка $N^{1/4}$ . А можно ли подойти ближе? Со времен Эйлера стоит эта задача «без движения», хотя есть гипотеза о том, что

\min _{x,\;y\in Z}|N-x^{2}-y^{2}|\leqslant N^{\varepsilon },

где $\varepsilon >0,\;\varepsilon$ — любое, $N\geqslant N_{1}(\varepsilon )$ . Заменить $1/4$ в предыдущем рассуждении на $1/4-c$ со сколь угодно малым фиксированным $c>0$ , не удаётся, и эта, на первый взгляд, простая задача не продвигается с середины XVIII века^[28].

Многомерный аналог проблемы Варинга

В своих дальнейших исследованиях по проблеме Варинга Карацуба получил^[29]^[30] двумерное обобщение этой проблемы. Рассматривается система уравнений:

x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\ldots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\quad i=0,\;1,\;\ldots ,\;n

,

где $N_{i}$ — заданные положительные целые числа, имеющие одинаковый порядок роста, $N_{0}\to +\infty$ , а $x_{\varkappa },\;y_{\varkappa }$ — неизвестные, но также положительные целые числа. Согласно двумерному обобщению, эта система разрешима, если $k>cn^{2}\log n$ , а если $k<c_{1}n^{2}$ , то существуют такие $N_{i}$ , что система не имеет решений.

Родственные задачи

В теории диофантовых уравнений близкими к проблеме Варинга являются задачи представления натурального числа суммой значений многочлена одной переменной и однородным многочленом нескольких переменных. Известно, что любое натуральное число представимо суммой трёх треугольных чисел $T_{n}={n+1 \choose 2}$ , а все достаточно большие нечётные целые представимы трёхчленной квадратичной формой Рамануджана $x^{2}+y^{2}+10z^{2}$ . Согласно теореме Лагранжа о сумме четырёх квадратов и теореме Лежандра о трёх квадратах и для того, и для другого требуется сумма не менее четырёх квадратов.

Проблемой Варинга в научных статьях могут называться и более частные задачи^[31].

Примечания

↑ Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.
↑ Варинг, Эдвард // Большая советская энциклопедия : в 66 т. (65 т. и 1 доп.) / гл. ред. О. Ю. Шмидт. — М. : Советская энциклопедия, 1926—1947.
↑ 11P05 Waring’s problem and variants // Mathematical Subject Classification, 2010 Архивная копия от 6 июня 2014 на Wayback Machine
↑ Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67, pages 281—300 (1909)
↑ Hardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.
↑ ¹ ² Линник Ю. В. Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.
↑ Л. Эйлер Opera postuma (1), 203—204 (1862)
↑ Niven, Ivan M. An unsolved case of the Waring problem (англ.) // American Journal of Mathematics : journal. — The Johns Hopkins University Press, 1944. — Vol. 66, no. 1. — P. 137—143. — doi:10.2307/2371901. — JSTOR 2371901.
↑ Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II (англ.) // Mathematika^[англ.] : journal. — 1957. — Vol. 4. — P. 122—124.
↑ последовательность A002804 в OEIS
↑ Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.
↑ Карацуба, А. А. О функции G(n) в проблеме Варинга (рус.) // Известия РАН. Серия математическая.. — 1985. — № 49:5. — С. 935—947.
↑ Wooley T. D. Large improvements in Waring’s problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.
↑ Wooley T. D. New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.
↑ ¹ ² Vaughan R. C., Wooley T. D. Number Theory for the Millennium (неопр.). — A. K. Peters^[англ.], 2002. — Т. III. — С. 301—340. — ISBN 978-1-56881-152-9. Архивировано 15 октября 2012 года.
↑ Vaughan R. C. A new iterative method in Waring’s problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.
↑ Nathanson (1996, p. 71)
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Appendix by. 7373170279850 (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — 2000. — Vol. 69, no. 229. — P. 421—439. — doi:10.1090/S0025-5718-99-01116-3.
↑ ¹ ² Władysław Narkiewicz. Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT. — Springer Science & Business Media, 2011-09-02. — 659 с. — ISBN 9780857295323.
↑ Davenport H. // Ann. of Math., 1939, № 40, p. 731—747
↑ Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard. Waring's Problem for sixteen biquadrates - numerical results (неопр.) // Journal de théorie des nombres de Bordeaux^[англ.]. — 2000. — Т. 12. — С. 411—422. — doi:10.5802/jtnb.287. Архивировано 16 июня 2011 года.
↑ JM Deshouillers and K Kawada and TD Wooley. On Sums of Sixteen Biquadrates (Mémoires de la Société Mathématique de France 100) (англ.) // Société Mathématique de France. — 2005.
↑ Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми Архивная копия от 6 июня 2014 на Wayback Machine. — Диссертация … кандидата физико-математических наук.
↑ Hua Lo Keng Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.
↑ И. О. декана механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, профессор Владимир Николаевич Чубариков (неопр.). Дата обращения: 31 октября 2014. Архивировано 1 ноября 2014 года.
↑ Чубариков В. Н. К проблеме Варинга — Гольдбаха // Доклады Академии наук. — 2009. Т. 427, № 1, с. 24—27
↑ Рецензия: Zbl 1220.11128
↑ Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11, с.22
↑ Архипов Г. И., Карацуба А. А. Многомерный аналог проблемы Варинга (неопр.) // Докл. АН СССР. — 1987. — № 295:3. — С. 521—523.
↑ Karatsuba A. A. Waring's problem in several dimension (неопр.) // Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. — 1988. — № 42. — С. 5—6.
↑ О проблеме Варинга для тернарной квадратичной формы и произвольной четной степени

Литература

В Викитеке есть тексты по теме: «Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)»

Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия», 1988. — С. 847.
Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 272.
Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases (англ.). — Springer-Verlag, 1996. — Vol. 164. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-94656-X.
А. Буфетов, А. Я. Канель. Новое элементарное решение проблемы Варинга. — Фундамент. и прикл. матем., 3:4 (1997), 1239–1252
Б. И. Сегал, Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел - содержит полное изложение метода Харди-Литтлвуда на русском языке

[1] Waring E. Meditationes algebraicae. — Cambridge, 1770.

[БСЭ1_ВЭ-2] Варинг, Эдвард // Большая советская энциклопедия : в 66 т. (65 т. и 1 доп.) / гл. ред. О. Ю. Шмидт. — М. : Советская энциклопедия, 1926—1947.

[3] 11P05 Waring’s problem and variants // Mathematical Subject Classification, 2010 Архивная копия от 6 июня 2014 на Wayback Machine

[4] Hilbert D. Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // Mathematische Annalen, 67, pages 281—300 (1909)

[5] Hardy G. H., Littlwood J. E. // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. p. 33—54. IV: Math. Z., 1922, № 12, p. 161—188.

[autogenerated1-6] ¹ ² Линник Ю. В. Элементарное решение проблемы Waring’a по методу Шнирельмана // Мат. сб., 1943, т. 12, № 54, с. 218—230.

[7] Л. Эйлер Opera postuma (1), 203—204 (1862)

[8] Niven, Ivan M. An unsolved case of the Waring problem (англ.) // American Journal of Mathematics : journal. — The Johns Hopkins University Press, 1944. — Vol. 66, no. 1. — P. 137—143. — doi:10.2307/2371901. — JSTOR 2371901.

[9] Mahler, K. On the fractional parts of the powers of a rational number II (англ.) // Mathematika^[англ.] : journal. — 1957. — Vol. 4. — P. 122—124.

[10] последовательность A002804 в OEIS

[11] Виноградов И. М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637—642.

[12] Карацуба, А. А. О функции G(n) в проблеме Варинга (рус.) // Известия РАН. Серия математическая.. — 1985. — № 49:5. — С. 935—947.

[13] Wooley T. D. Large improvements in Waring’s problem // Ann. of Math. 135 (1992), 131—164.

[14] Wooley T. D. New estimates for smooth Weyl sums // J. London Math. Soc. (2) 51 (1995), 1-13.

[Vaughan-Wooley-15] ¹ ² Vaughan R. C., Wooley T. D. Number Theory for the Millennium (неопр.). — A. K. Peters^[англ.], 2002. — Т. III. — С. 301—340. — ISBN 978-1-56881-152-9. Архивировано 15 октября 2012 года.

[16] Vaughan R. C. A new iterative method in Waring’s problem // Acta Math. 162 (1989), 1—71.

[17] Nathanson (1996, p. 71)

[x7373170279850-18] Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard; I. Gusti Putu Purnaba, Appendix by. 7373170279850 (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — 2000. — Vol. 69, no. 229. — P. 421—439. — doi:10.1090/S0025-5718-99-01116-3.

[:0-19] ¹ ² Władysław Narkiewicz. Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT. — Springer Science & Business Media, 2011-09-02. — 659 с. — ISBN 9780857295323.

[20] Davenport H. // Ann. of Math., 1939, № 40, p. 731—747

[sixteen-biquadrates-21] Deshouillers, Jean-Marc; Hennecart, François; Landreau, Bernard. Waring's Problem for sixteen biquadrates - numerical results (неопр.) // Journal de théorie des nombres de Bordeaux^[англ.]. — 2000. — Т. 12. — С. 411—422. — doi:10.5802/jtnb.287. Архивировано 16 июня 2011 года.

[22] JM Deshouillers and K Kawada and TD Wooley. On Sums of Sixteen Biquadrates (Mémoires de la Société Mathématique de France 100) (англ.) // Société Mathématique de France. — 2005.

[23] Мирзоабдугафуров К. И. Проблема Варинга для 9 кубов с почти равными слагаемыми Архивная копия от 6 июня 2014 на Wayback Machine. — Диссертация … кандидата физико-математических наук.

[24] Hua Lo Keng Additive theory of prime numbers // Translations of Mathematical Monographs, 13, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1965, xiii+190 pp.

[ReferenceA-25] И. О. декана механико-математического факультета МГУ, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, профессор Владимир Николаевич Чубариков (неопр.). Дата обращения: 31 октября 2014. Архивировано 1 ноября 2014 года.

[26] Чубариков В. Н. К проблеме Варинга — Гольдбаха // Доклады Академии наук. — 2009. Т. 427, № 1, с. 24—27

[27] Рецензия: Zbl 1220.11128

[28] Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11, с.22

[29] Архипов Г. И., Карацуба А. А. Многомерный аналог проблемы Варинга (неопр.) // Докл. АН СССР. — 1987. — № 295:3. — С. 521—523.

[30] Karatsuba A. A. Waring's problem in several dimension (неопр.) // Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. — 1988. — № 42. — С. 5—6.

[31] О проблеме Варинга для тернарной квадратичной формы и произвольной четной степени

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

Ссылки на внешние ресурсы
Тематические сайты	MathWorld
Словари и энциклопедии	Большая каталанская Большая российская (научно-образовательный портал) Britannica (онлайн)

Проблема Варинга

Содержание