Silnia

Wybrane wartości silni
$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	∼1,551 121 004 · 10²⁵
50	~3,041 409 32 · 10⁶⁴
70	~1,197 857 167 · 10¹⁰⁰
100	~9,332 621 544 · 10¹⁵⁷
450	~1,733 368 733 · 10¹⁰⁰⁰
1000	~4,023 872 601 · 10²⁵⁶⁷
10 000	~2,846 259 681 · 10^{35 659}
100 000	~2,824 229 408 · 10^{456 573}
1 000 000	~8,263 931 688 · 10^{5 565 708}
10 000 000	~1,202 423 401 · 10^{65 657 059}
10¹⁰⁰	~10^{9,956 570 552 · 10¹⁰¹}

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż $n$ ^[1]. Zapis $n!,$ $2!$ itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Definicja formalna

Silnia jest funkcją liczbową, której dziedziną są liczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera

!\colon \mathbb {N} _{0}\to \mathbb {N} _{+}

Silnia liczby naturalnej n jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n

n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot (n-2)\cdot (n-1)\cdot n

Można to napisać bardziej zwięźle korzystając z notacji Pi oznaczającej iloczyn ciągu czynników

n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{dla }}n\geqslant 1.

Wartość 0! określa się osobno^[2]:

0!=1.

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]n\cdot (n-1)!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}

Przykłady

3!=1\cdot 2\cdot 3=6

4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24

5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120

6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720

Obliczanie

Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Jeśli wynik przechowywany jest w zmiennej 32-bitowej (ze znakiem lub bez), nastąpi ono już dla $n=13.$

n = 1 n! = 1
n = 2 n! = 2
n = 3 n! = 6
n = 4 n! = 24
n = 5 n! = 120
n = 6 n! = 720
n = 7 n! = 5040
n = 8 n! = 40320
n = 9 n! = 362880
n = 10 n! = 3628800
n = 11 n! = 39916800
n = 12 n! = 479001600
n = 13 int overflow

Przybliżona wartość

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

\ln n!\approx n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n).

Przydatne jest również oszacowanie:

n!=o(n^{n}).

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\alpha _{n}},

gdzie:

{\frac {1}{12n+1}}\leqslant \alpha _{n}\leqslant {\frac {1}{12n}}.

Właściwości

Wzrost

Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Wzrost funkcji silni jest szybszy niż wzrost wykładniczy, ale wolniejszy niż podwójnej funkcji wykładniczej(inne języki)^[3]. Tempo wzrostu jest podobne do $n^{n},$ ale wolniejsze o czynnik wykładniczy.

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat

Jeżeli liczba $n!$ rozkłada się na czynniki pierwsze:

n!=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}},

to

{\mbox{ord}}_{p_{i}}(n!)=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor ,

tzn. liczba pierwsza $p_{i}$ pojawia się z wykładnikiem:

\alpha _{i}=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor ,

gdzie $\lfloor x\rfloor$ oznacza część całkowitą liczby $x.$

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym $n!,$ przy czym $n$ jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5^{1}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\ldots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,

gdzie $k$ musi spełniać warunek

5^{k}\leqslant n<5^{k+1}.

Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

\left\lfloor {\frac {26}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26}{5^{2}}}\right\rfloor =5+1=6

zerami.

Jeżeli $n<5,$ nierówności są spełnione przez $k=0;$ w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Historia

Oznaczenie $n!$ dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Zastosowania

Silnia pozwala zwięźle zapisać wzory i zależności z różnych działów matematyki jak:

analiza matematyczna, np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać $k!;$
geometria $n$ -wymiarowa, np. stosunek miary $n$ -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy $n!;$
kombinatoryka, np. liczba wszystkich permutacji zbioru $n$ -elementowego jest równa $n!.$

Powiązane ciągi i inne funkcje

Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga

Factorion

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585^[4].

Funkcja gamma

Osobny artykuł: Funkcja Γ.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).

Ponieważ $\Gamma (1)=1,$ więc z powyższego wynika

\Gamma (n+1)=n!

dla wszystkich liczb naturalnych $n.$

Funkcja $\Gamma$ jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia wielokrotna

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną $n!!!$ oraz ogólnie silnie $k$ -tą, którą oznaczamy jako $n!^{(k)}.$ Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

n!^{(k)}={\begin{cases}1&{\mbox{ gdy }}n=0\\[2pt]n&{\mbox{ gdy }}0<n\leqslant k\\[2pt]n\cdot (n-k)!^{(k)}&{\mbox{ gdy }}n>k\end{cases}}

Silnia podwójna

Silnią podwójną liczby naturalnej $n$ określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do $n.$ Silnię podwójną oznacza się $n!!.$

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

n!!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0{\mbox{ lub }}n=1\\[2pt]n\cdot (n-2)!!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}

Przykład:

8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384

9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945

Własności podwójnej silni:

n!=n!!(n-1)!!

(2n)!!=2^{n}n!

(2n+1)!!={\frac {(2n+1)!}{(2n)!!}}={\frac {(2n+1)!}{2^{n}n!}}

zależność od funkcji gamma:

\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},

więc:

\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\right)=(2n-1)!!

Przypisy

↑ Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .
↑ Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0 .
↑ Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2.4: Orders of magnitude.
↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorion, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang.).

Bibliografia

Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
How to Take the Factorial of Any Number, [w:] Lines That Connect [online], YouTube, 13 sierpnia 2022 (ang.).
http://factorielle.free.fr (ang. • fr. • cz.)

[1] Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-21] .

[cke-2] Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0 .

[3] Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2.4: Orders of magnitude.

[4] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorion, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]