ಶ್ರೇಢಿಗಳು (ಗಣಿತ)

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

$2,6,10,14,...$

ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 6 ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 10 ಮೂರನೆಯದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ:

ಶ್ರೇಢಿಪದ	ಮೊದಲನೇ	ಎರಡನೇ	ಮೂರನೇ	ನಾಲ್ಕನೇ	$n$ನೇ
ಚಿಹ್ನೆ	$T_{1}$	$T_{2}$	$T_{3}$	$T_{4}$	$T_{n}$

ಇಲ್ಲಿ $n$ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಗಳು

ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: $T_{1},T_{2},T_{3},...T_{n}$

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

$1,3,5,7,9,11,13,15$

$S=\{x:(2x+1),1\leq x\leq 15\}$

ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: $T_{1},T_{2},T_{3},...$

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$2,4,6,8,10,...$

$S=\{x:2x,x>0\}$

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು A.P. (Arithmetic Progression) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಶ್ರೇಢಿ	$T_{2}-T_{1}$	$T_{3}-T_{2}$	$T_{4}-T_{3}$
$5,8,11,14,...$	3	3	3
$3,13,23,33,...$	10	10	10
$1,-1,-3,-5,...$	-2	-2	-2
$1,1.5,2,2.5,...$	0.5	0.5	0.5

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದ ಮತ್ತದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕ (Common Difference, C.D) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು $d$ ಇಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

$T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},...$

$d=T_{2}-T_{1}=T_{3}-T_{2}=T_{4}-T_{3}...$

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೊನ್ನೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಥಹ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

$a$ ಮೊದಲನೇ ಪದವು, $d$ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದರೆ,

$T_{1}=a$

$T_{2}=T_{1}+d=a+d$

$T_{3}=T_{2}+d=(a+d)+d=a+2d$

$T_{4}=T_{3}+d=(a+2d)+d=a+3d$

ಹಾಗಾಗಿ, $a$ ಮೊದಲನೇ ಪದವಾಗಿ, $d$ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು:

$a,(a+d),(a+2d),(a+3d),...$

ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು

ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$5,10,15,20,25$

$S=\{x:(3x-1),0\leq x\leq 50\}$

ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$5,10,15,20,25,...$

$S=\{x:(3x-1),0\leq x\}$

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ $a$ ಮೊದಲನೇ ಪದ ಹಾಗೂ $d$ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ $n$ನೇ ಪದವು $T_{n}=a+(n-1)d$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಶಗಳು

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ $5,10,15,20,25,...$ನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ: $T_{1}=a=5,\ d=T_{2}-T_{1}=10-5=5$ $T_{1}=5=a=a+(1-1)d$ $T_{2}=10=5+5=a+d=a+(2-1)d$ $T_{3}=15=5+5+5=a+d+d=a+(3-1)d$ $T_{4}=20=5+5+5+5=a+d+d+d=a+(4-1)d$ $\cdots$ $T_{n}=a+d+d+d...=a+(n-1)d$ $\therefore T_{n}=a+(n-1)d$
$T_{n}+d=T_{n+1}$	$T_{n}-d=T_{n-1}$
$d={\frac {T_{p}-T_{q}}{p-q}}$	$d={\frac {T_{n}-a}{n-1}}$

ಶ್ರೇಣಿ

ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. $T_{1},T_{2},T_{3}...T_{n}$ ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ $T_{1}+T_{2}+T_{3}+...+T_{n}$ ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನಬಹುದು. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು $S_{n}$ ಎಂದು ಶೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾಗಿ, $S_{n}=T_{1}+T_{2}+T_{3}+...+T_{n}$.

ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ

$S_{1}=T_{1}$

$S_{2}=T_{1}+T_{2}$

$S_{3}=T_{1}+T_{2}+T_{3}...$

$S_{n}-S_{n-1}=T_{n}$

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ $a$, ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d$ ಆಗಿದ್ದು, $S_{n}$ ಮೊದಲ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ,

$S_{n}={\frac {n}{2}}\left[2a+(n-1)d\right]$

ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:

$1+2+3+...+n$ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ,

$a=1,\ d=T_{2}-T_{1}=2-1=1,\ n=n$

$S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}[2\times 1+(n-1)1]={\frac {n}{2}}[2+n-1]$

$S_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}=\sum _{1}^{n}n$

ಮೊದಲ $n$ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ $={\frac {n(n+1)}{2}}$ ಅಥವಾ $\sum _{1}^{n}n={\frac {n(n+1)}{2}}$

ಅಲ್ಲದೆ, $S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]$ ಅನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು:

$S_{n}={\frac {n}{2}}[a+\{a+(n-1)d\}]$

$\therefore S_{n}={\frac {n}{2}}[a+T_{n}]\ \ \ \ \ \because \ T_{n}=a+(n-1)d$

$\therefore {\frac {a+T_{n}}{2}}\ \rightarrow \$ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ.

ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ

ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿದರೆ ಅಂಥಹ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ (Harmonic Progression) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು H.P. ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಶ್ರೇಢಿಗಳು	ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು
${\frac {1}{2}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{11}},...$	$2,5,8,11,...$
${\frac {1}{30}},{\frac {1}{28}},{\frac {1}{26}},{\frac {1}{24}},...$	$30,28,26,24,...$
$1,{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}},{\frac {2}{5}},...$	$1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{2}},{\frac {5}{2}},...$

ಒಂದು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆ ಪದವು $a$ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು $d$ ಎಂದಾದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು $a,\ a+d,\ a+2d,\ ...,\ a+(n-1)d$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಈ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತವೆ.

$\therefore {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}},\ {\frac {1}{a+2d}},\ ...,\ {\frac {1}{a+(n-1)d}}$

$\therefore$ ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ $n$ ನೇ ಪದವು, $T_{n}={\frac {1}{a+(n-1)d}}$

ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನುG.P. (Geometric Progression) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$1,3,9,27,...$

$2,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},...$

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು $3$ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನೂ, ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ${\frac {1}{2}}$ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ (Common Ratio) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು $r$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಶ್ರೇಢಿ	${\frac {T_{2}}{T_{1}}}$	${\frac {T_{3}}{T_{2}}}$	${\frac {T_{4}}{T_{3}}}$
$3,9,27,81,...$	$3$	$3$	$3$
$1000,100,10,1,...$	${\frac {1}{10}}$	${\frac {1}{10}}$	${\frac {1}{10}}$
$5,25,125,625,...$	$5$	$5$	$5$

$T_{1},T_{2},T_{3},T_{4},...$ ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳಾದರೆ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ, $r={\frac {T_{2}}{T_{1}}}={\frac {T_{3}}{T_{2}}}={\frac {T_{4}}{T_{3}}}=...={\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}$

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯೊಂದರ ಮೊದಲನೇ ಪದ $a$ ಎಂದೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು $r$ ಎಂದಾದಲ್ಲಿ, ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು $a,ar,ar^{2},ar^{3},ar^{4},...,ar^{n-1}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ: $T_{n}=ar^{n-1}$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ $r$ ಇರುವ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು $r$ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: $T_{n+1}=T_{n}\times r$

ಅಲ್ಲದೆ, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು $r$ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು: $T_{n-1}=T_{n}\div r$

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳು

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$1+3+9+27+...$

$2+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+...$

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ

ಮೊದಲನೇ ಪದವು $a$ ಆಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ $r$ ಆಗಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯು $S_{n}$ ಆಗಿರಲಿ.

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}$

$S_{n}$ ಅನ್ನು $r$ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ,

$rS_{n}=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n-1}+ar^{n}$

${\begin{alignedat}{10}S_{n}-rS_{n}&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}\\S_{n}(1-r)&={\underline {-ar-ar^{2}-ar^{3}-ar^{4}-...-ar^{n-1}-ar^{n}}}\\&=a+{\cancel {ar}}+{\cancel {ar^{2}}}+{\cancel {ar^{3}}}+...+{\cancel {ar^{n-1}}}\\&={\underline {{\cancel {-ar}}-{\cancel {ar^{2}}}-{\cancel {ar^{3}}}-{\cancel {ar^{4}}}-...-{\cancel {ar^{n-1}}}-ar^{n}}}\\&=a-ar^{n}\end{alignedat}}$

$\therefore S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}\ \ \ \ \ \ \ \ r\neq 1$