Valós analízis

Az első 4 részletösszege a négyszögjel Fourier sorának. A Fourier analízis a valós analízis fontos eszköze.

A valós analízis a matematika azon ága, amely a valós függvények analízisével foglalkozik. Ezen függvények analitikus tulajdonságait vizsgálja, mint például a konvergencia, határérték, folytonosság és egyéb tulajdonságok.

Területei

A valós számok konstrukciója

A valós számokat többféleképpen is definiálhatjuk mint rendezett testet. A "mesterséges" módszer az axiómák megadása. Ugyanakkor bizonyos konstrukciók a racionális számok tulajdonságain alapulnak.

Sorozatok

Az $1/x$ függvény az $x=0$ pontnál balról a negatív végtelenbe, jobbról pedig a pozitív végtelenbe tart.

A sorozatokat úgy definiálhatjuk, mint függvényeket, amelyek alaphalmaza egy megszámlálható és teljesen rendezett halmaz, például a természetes számok halmaza. A valós analízisben a sorozat olyan függvény, amely alaphalmaza a természetes számok egy részhalmaza, a képhalmaza pedig a valós számok.

Határérték

Az $1/2^{k}$ sorozatból képzett végtelen sor összege 1, amennyiben 1-től kezdjük az indexelést.

Egy függvény vagy sorozat határértéke egy olyan érték, amelyet a függvény vagy sorozat "tetszőlegesen megközelít", ahogy a függvény argumentuma megfelelő mértékben megközelít egy megadott értéket. Ha az $a_{n}$ végtelen sorozat konvergens és $A$-hoz tart, a következő jelölést alkalmazzuk: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=A$.
A függvények határértéke egy adott pontban is értelmezhető, melynek jelölése az $f(x)$ függvény $x_{0}$ pontjában $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=A$, ahol $A$ a függvény $x_{0}$-ban vett határértéke. Beszélhetünk egyoldali határértékről is: egy függvény egy adott pontjában jobb oldali határértékkel rendelkezik, ha az adott $x_{0}$ ponthoz jobbról ($x_{0}<x_{n}$) közelítve $f(x)\rightarrow A$. Hasonló módon értelmezhető a bal oldali határérték is.

Végtelen sorok és hatványsorok

A $\sin(1/x)$ függvény nem rendelkezik egyoldali határértékekkel.

Az $a_{k}$ végtelen valós sorozat részletösszegeiből képzett sorozat a $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...$ végtelen sor. Egy végtelen sor konvergens, és az összege az $S$ valós szám, ha az $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ $n$-edik részletösszegből képzett valós sorozat konvergens és határértéke $S$. A végtelen sorok konvergenciájának vizsgálatához használt eszközök például a d'Alembert-féle hányadoskritérium és a gyökkritérium . Geometriai sorok esetén pedig $\sum _{k=1}^{\infty }r^{k}={\frac {1}{1-r}}$, ha $r<1$. Felmerül tehát a kérdés, hogy egy adott $f$ függvény felírható-e végtelen sorként.
Amennyiben egy $f$ függvény megadható az $f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}x^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}(x-x_{0})^{k}$ alakban, ahol $x_{0}$ a hatványsor középpontja, az $f$ hatványsorba fejthető. A hatványsorok középpontja körüli konvergenciasugár meghatározásához a Cauchy–Hadamard-tétel használható. Egy arra alkalmas $f$ függvény hatványsorba fejtésének egy módja annak Taylor-sorrá alakítása.

Folytonosság

Intuitív módon fogalmazva egy valós függvény folytonos, ha a függvény egy Descartes-féle koordináta-rendszerben ábrázolva egyetlen összefüggő vonallal ábrázolható. Pontosabban: egy $f$ függvény folytonos az értelmezési tartományának elemét képező $x_{0}$ pontban, ha $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$. Ha az $f$ értelmezési tartományának egy pontjában ez a feltétel nem valósul meg, azt mondjuk, hogy ott a függvénynek szakadása van. Egy függvény csak akkor folytonos, ha az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.
A valós analízis egyik legfontosabb tétele a Bolzano-tétel, amely kimondja, hogy egy intervallumon értelmezett, negatív és pozitív értékeket is felvevő, folytonos függvénynek van zérushelye. Egy másik igen fontos tétel a Weierstrass-szélsőértéktétel, amely szerint ha az $f$ függvény folytonos az $[a,b]$ intervallumon, akkor az $f$ ezen az intervallumon felveszi a minimumát és maximumát.

Differenciálás

A derivált a függvénygörbe érintőjének meredeksége, azaz az érintő a vízszintes tengellyel bezárt szögének tangense.

Egy $f$ függvény deriváltja az $x_{0}$ pontban a következő határérték:

$f'(x_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}.$

Ha a derivált mindenhol létezik, akkor a függvény differenciálható. A magasabb deriváltak a deriváltak deriváltjaiként értelmezhetőek. Mivel az $f'(x_{0})$ derivált az $f$ függvényhez az $x_{0}$ pontban húzott érintő meredeksége, segítségével meghatározható a függvény egy adott pontjában vett érintőjének egyenlete. Az első derivált továbbá például a függvény lokális szélsőértékeinek és értékkészletének meghatározásához is használható. A második derivált segítségével pedig a függvény konvex és konkáv részei és inflexiós pontjai is meghatározhatóak. A derivált a L’Hôpital-szabály felhasználásával bizonyos esetekben a határértékszámításkor is alkalmazható.
A függvényeket csoportosíthatjuk a differenciálhatóságuk alapján. Legyen $C^{0}$ az összes folytonos függvény osztálya, $C^{1}$ pedig az összes olyan differenciálható függvény osztálya, amelyek deriváltjai folytonosak. Vagyis a $C^{1}$-beli függvények pontosan azok a függvények, amelyek differenciálhatóak, és a deriváltjuk eleme $C^{0}$-nak. Általánosítva, legyen $C^{k}$ rekurzió segítségével definiálva a következőképpen: $C^{k}$ valamely pozitív egész $k$-ra azon differenciálható függvények osztálya, amelyeknek deriváltja eleme $C^{1}$-nek. Minden $C^{k}$ részhalmaza $C^{k-1}$-nek. $C^{\infty }$ jelöli az összes $C^{k}$ osztály metszetét. $C^{\omega }$ részhalmaza $C^{\infty }$-nek.

A deriválás és a teljes függvényvizsgálat

Egy függvény első deriváltjának segítségével meghatározhatjuk a függvény monotonitását és szélsőértékeit. Ha az $f$ folytonos és differenciálható az $[a,b]$ zárt intervallumon, és minden belső pontjában $f'(x)>0$, akkor az $f$ az $[a,b]$ intervallumon szigorúan monoton nő. Ugyanígy, ha $f$ folytonos és differenciálható az $[a,b]$ zárt intervallumon, és minden belső pontjában $f'(x)<0$, akkor az $f$ az $[a,b]$ intervallumon szigorúan monoton csökken. Azokban a pontokban, ahol az imént meghatározott függvényeknél $f'(x)=0$, előfordulhat, hogy lokális szélsőértéket találunk. Azokban a pontokban, ahol az $f$ szigorúan monoton növőből szigorúan monoton csökkenővé válik, lokális maximumról, azokban pedig, ahol szigorúan monoton csökkenőből szigorúan monoton növővé válik, lokális minimumról beszélhetünk. A másodrendű feltétel alapján ha az $f$ legalább kétszer differenciálható függvényre teljesül, hogy egy $x_{0}$ pontjában $f'(x_{0})=0$ és $f''(x_{0})>0$, akkor a függvénynek az adott $x_{0}$ pontban lokális minimuma van. A lokális maximum hasonlóan értelmezhező, de akkor $f''(x)<0$.
A második derivált segítségével meghatározható, hogy a függvény mely intervallumokban konvex és konkáv, továbbá hogy hol találhatóak az inflexiós pontjai. Ha az $f$ folytonos és kétszer differenciálható egy intervallumon belül, továbbá az intervallum minden belső pontjában $f''(x)\geq 0$, akkor az $f$ konvex az adott az intervallumon. Amennyiben ugyanezen alapfeltételek mellett az $f''(x)\leq 0$ teljesül, az $f$ konkáv az adott intervallumon. Azokban a pontokban, ahol $f''(x)=0$ és a függvény konvexből konkávba vagy konkávból konvexbe fordul, a függvénynek inflexiós pontja van.

Integrálás

Egy függvény határozott integrálja úgy értelmezhető, mint a függvény grafikonja és a vízszintes tengely által bezárt előjeles területösszeg.

Riemann-integrálás

A Riemann-integrált a Riemann-összegek segítségével definiáljuk. Legyen $[a,b]$ a valós számok egy zárt intervalluma. Ekkor ezen intervallum megcímkézett particionálása egy véges sorozat,

$a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!$

Ez a partíció osztja $n$ részintervallumra, $[x_{i-1},x_{i}]$-ra az eredeti $[a,b]$ intervallumot. Egy $f$ függvény Riemann-összege egy adott címkézett partíción: $\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}.$

Vagyis azon téglalapok területeinek összege, amelyek alapjai a particionálás által létrehozott részintervallumok és magasságuk a függvény részintervallumokhoz tartozó kijelölt $t_{i}$ pontokban vett értékei: $f(t_{i})$. $\Delta _{i}$ pedig az $i$-edik részintervallum hossza: $\Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}$. Egy $f$ függvény Riemann-integrájla az $[a,b]$ intervallumon $S$, ha bármely $\epsilon >0$-hoz létezik egy $\delta >0$, úgy, hogy $[a,b]$ bármely címkézett partíciója, amelynek finomsága (vagyis a legnagyobb részintervallum mérete) $\delta$ vagy annál kisebb, akkor:

$\left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\varepsilon .$

Ha a partíció címkéi a függvény adott intervallumon való maximum (vagy minimum) értékének helyei, akkor az ehhez a partícióhoz tartozó Riemann-összeg a felső (és alsó) Darboux-összeg, amely rámutat a Riemann-integrál és a Darboux-integrál szoros kapcsolatára.

Lebesgue-integrálás

A Lebesgue-integrálás a Riemann-integrálás kiterjesztése a nem Riemann-integrálható függvényekre, illetve kiterjeszti azt a halmazt is, amelyeken az integrálható függvények definiálhatóak.

Határozatlan integrálás

Az analízis alaptétele (animáció).

A határozatlan integrálás a deriválás fordított művele. Általános jelöléseket használva az $F$ függvény az egy adott intervallumon értelmezett $f$ függvény határozatlan integrálja (más néven primitív függvénye), ha $F'(x)=f(x)$ az $f$ teljes értelmezési tartományában. Mivel egy hozzáadott konstans deriváltja mindig nulla, a határozatlan integrálokhoz mindig hozzá kell adnunk egy $C$ valós számot. A határozatlan integrál jelölése:

$\int f(x)=F(x)+C.$

A Newton-Leibniz-formula

Az analízis alaptétele alapján a folytonos $f$ függvény határozott integrálja kiszámíható a függvény $F$ primitív függvényének ismeretében

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

Fontos tételek

Az analízis fontos tételei például a Bolzano-Weierstrass és a Heine-Borel tétel; a Bolzano-tétel a középértéktételek, és az analízis alaptétele (Newton-Leibniz-tétel).

A valós analízis számos fogalma általánosítható a valós térről általánosabb metrikus terekre vagy éppen mérték-terekre, Banach terekre, és Hilbert terekre.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Real analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.