गाऊसी पूर्णांक

संख्या सिद्धान्त में, गाऊसी पूर्णांक एक समिश्र संख्या है जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक होते हैं। गाऊसी पूर्णांक, जटिल संख्याओं के साधारण जोड़ और गुणा के साथ, एक अभिन्न डोमेन बनाते हैं, जिसे आमतौर पर Z[i] के रूप में लिखा जाता है। यह इंटीग्रल डोमेन द्विघात पूर्णांकों के एक कम्यूटेटिव रिंग का एक विशेष मामला है। इसमें कुल क्रम नहीं है जो अंकगणित का सम्मान करता है।

मूल परिभाषाएं

गाऊसी पूर्णांक समुच्चय हैं

$\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ where }}i^{2}=-1.$

दूसरे शब्दों में, गाऊसी पूर्णांक एक ऐसी सम्मिश्र संख्या होती है जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक होते हैं। चूंकि गॉसियन पूर्णांक जोड़ और गुणा के तहत बंद होते हैं, इसलिए वे एक कम्यूटेटिव रिंग बनाते हैं, जो जटिल संख्याओं के क्षेत्र का एक सबरिंग होता है। इस प्रकार यह एक अभिन्न डोमेन है।

जब जटिल विमान के भीतर विचार किया जाता है, तो गाऊसी पूर्णांक 2-आयामी पूर्णांक जाली का निर्माण करते हैं।

गाऊसी पूर्णांक a + bi का संयुग्म गाऊसी पूर्णांक a - bi होता है।

एक गाऊसी पूर्णांक का मान उसके संयुग्म के साथ उसका उत्पाद है।

$N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.$

इस प्रकार एक गाऊसी पूर्णांक का मान एक सम्मिश्र संख्या के रूप में इसके निरपेक्ष मान का वर्ग होता है। गाऊसी पूर्णांक का मान एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होता है, जो दो वर्गों का योग होता है। इस प्रकार एक मानदंड k पूर्णांक के साथ 4k + 3 के रूप का नहीं हो सकता है।

मानदंड गुणक है, अर्थात्, एक के पास है

$N(zw)=N(z)N(w),$

गाऊसी पूर्णांक z, w के प्रत्येक युग्म के लिए। इसे सीधे या सम्मिश्र संख्याओं के मापांक के गुणक गुण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

गाऊसी पूर्णांकों के वलय की इकाइयाँ (अर्थात गाऊसी पूर्णांक जिसका गुणन प्रतिलोम भी एक गाऊसी पूर्णांक होता है) निश्चित रूप से आदर्श 1 के साथ गाऊसी पूर्णांक होते हैं, अर्थात् 1, -1, i और –i।