Πεπερασμένο σύνολο

Στην θεωρία συνόλων, ένα πεπερασμένο σύνολο είναι ένα σύνολο $S$ για το οποίο υπάρχει φυσικός αριθμός $n\in \mathbb {N}$ και 1-1 και επί συνάρτηση $f:S\to \{1,2,\ldots ,n\}$ ή είναι το κενό σύνολο. Ο αριθμός $n$ είναι ο πληθάριθμος του συνόλου και συμβολίζεται ως $|S|$.

Για παράδειγμα, τα παρακάτω σύνολα είναι πεπερασμένα

• $S_{1}=\{1,2,3\}$,
• $S_{2}=\{2,4,6,8\}$,
• $S_{3}=\emptyset$,

ενώ τα σύνολα των φυσικών αριθμών $\mathbb {N}$, ακεραίων αριθμών $\mathbb {Z}$ και των πραγματικών αριθμών $\mathbb {R}$ είναι μη-πεπερασμένα.

Σε ένα πεπερασμένο σύνολο τα στοιχεία του μπορούν να απαριθμηθούν ως $a_{1},\ldots ,a_{n}$.

Ιδιότητες

• Για δύο πεπερασμένα σύνολα $S_{1}$ και $S_{2}$ ισχύει από την αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού ότι

$|S_{1}\cup S_{2}|=|S_{1}|+|S_{2}|-|S_{1}\cap S_{2}|$.

• Για δύο πεπερασμένα σύνολα $S_{1}$ και $S_{2}$ το καρτεσιανό τους γινόμενο $S_{1}\times S_{2}$, ικανοποιεί

$|S_{1}\times S_{2}|=|S_{1}|\cdot |S_{2}|$.

• Το δυναμοσύνολο ${\mathcal {P}}(S)$ του $S$ έχει $|{\mathcal {P}}(S)|=2^{|S|}$ στοιχεία.
• Κάθε πεπερασμένο σύνολο είναι αριθμήσιμο.