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## 3.5 Classification and Regression Trees > 决策树是一种广受欢迎的、强大的预测方法。它之所以受到欢迎，是因为其最终的模型对于从业人员来说易于理解，给出的决策树可以确切解释为何做出特定的预测。决策树是最简单的机器学习算法，它易于实现，可解释性强，完全符合人类的直观思维，有着广泛的应用。 > > 同时，决策树也是更为高级的集成算法（如bagging，random forests和gradient boosting等）的基础。在本节中，您将了解Gini指数的概念、如何创建数据集的拆分、如何构建一棵树、如何利用构建的树作出分类决策以及如何在Banknote数据集上应用这些知识。 ### 3.5.1 算法介绍 Classification and Regression Trees（简称CART），指的是可用于分类或回归预测建模问题的决策树算法。在本节中，我们将重点介绍如何使用CART解决分类问题，并以Banknote数据集为例进行演示。 CART模型的表示形式是一棵二叉树。每个节点表示单个输入变量（X）和该变量的分割点（假定变量是数字化的）。树的叶节点（也称作终端节点）包含用于预测的输出变量（y）。 创建二元决策树实际上是划分输入空间的过程。一般采用贪婪方法对变量进行递归的二进制拆分，使用某个成本函数（通常是Gini指数）测试不同的分割点，选择成本最高的拆分（即拆分完之后，剩余成本降到最低，亦代表这种拆分所含的“信息量”最大）。 ### 3.5.2 算法讲解 #### 按属性分割数据 * 功能：切分函数，根据切分点将数据分为左右两组 * 输出：从切分点处切分后的数据结果 ```c struct dataset *test_split(int index, double value, int row, int col, double **data) { // 将切分结果作为结构体返回 struct dataset *split = (struct dataset *)malloc(sizeof(struct dataset)); int count1=0,count2=0; double ***groups = (double ***)malloc(2 * sizeof(double **)); for (int i = 0; i < 2; i++) { groups[i]=(double **)malloc(row * sizeof(double *)); for (int j = 0; j < row; j++) { groups[i][j] = (double *)malloc(col * sizeof(double )); } } for (int i = 0; i < row; i++) { if (data[i][index]<value) { groups[0][count1]=data[i]; count1 ++; }else{ groups[1][count2] = data[i]; count2++; } } split->splitdata = groups; split->row1 = count1; split->row2 = count2; return split; } ``` #### Gini指数 基尼指数是用于评估数据集中的拆分所常用的成本函数。数据集中的拆分涉及一个输入属性和该属性的一个值。它可以用于将训练模式分为两组。最理想的拆分是使基尼指数变为0，而最坏的情况是在二分类问题中分为每一类的概率都是50%（即基尼指数变为0.5）。 基尼系数的具体计算公式如下： $$ G = 1-\sum^{k}_{i=1}{p_i^2}\tag{5.1} $$ 其中$k$是数据集中样本分类的数量，$p_i$表示第$i$类样本占总样本的比例。如果某一属性取多个值，则按照每一个值所占的比重进行加权平均。 例如，对于下面这些样本： | day | deadline? | party? | lazy? | activity | | ---- | --------- | ------ | ----- | -------- | | 1 | urgent | yes | yes | party | | 2 | urgent | no | yes | study | | 3 | near | yes | yes | party | | 4 | none | yes | no | party | | 5 | none | no | yes | pub | | 6 | none | yes | no | party | | 7 | near | no | no | study | | 8 | near | no | yes | TV | | 9 | near | yes | yes | party | | 10 | urgent | no | no | study | 以“deadline?”这个属性为例。首先计算deadline这个属性取每一个值的比例： $$ P(deadline=urgent)={3\over10}\\ P(deadline=near)={4\over10}\\ P(deadline=none)={3\over10}\tag{5.2} $$ 然后分别计算deadline这个属性取每一个值下的Gini指数： $$ P(deadline=urgent\&activity=party)={1\over3}\\ P(deadline=urgent\&activity=study)={2\over3}\\ G(urgent)=1-(({1\over3})^2+({2\over3})^2)={4\over9}\tag{5.3} $$ $$ P(deadline=near\&activity=party)={2\over4}\\ P(deadline=near\&activity=study)={1\over4}\\ P(deadline=near\&activity=TV)={1\over4}\\ G(near)=1-(({2\over4})^2+({1\over4})^2+({1\over4})^2)={5\over8}\tag{5.4} $$ $$ P(deadline=none\&activity=party)={2\over3}\\ P(deadline=none\&activity=pub)={1\over3}\\ G(none)=1-(({2\over3})^2+({1\over3})^2)={4\over9}\tag{5.5} $$ 最后按照取每一个值所占的比重对以上三个Gini指数做加权平均： $$ G_1=G(deadline)={3\over10}\times{4\over9}+{4\over10}\times{5\over8}+{3\over10}\times{4\over9}={31\over60}\tag{5.6} $$ 同理可以算出按属性“party?”和“lazy?”切分时的Gini指数： $$ G_2=G(party)={5\over10}\times[1-({5\over5})^2]+{5\over10}\times[1-(({3\over5})^2+({1\over5})^2+({1\over5})^2)]={7\over25}\tag{5.7} $$ $$ G_3=G(lazy)={6\over10}\times[1-(({3\over6})^2+({1\over6})^2+({1\over6})^2+({1\over6})^2)]+{4\over10}\times[1-(({2\over4})^2+({2\over4})^2)]={3\over5}\tag{5.8} $$ 由于$G_2<G_1<G_3$ ```{c} double gini_index(int index,double value,int row, int col, double **dataset, double *class, int classnum) { float *numcount1 = (float *)malloc(classnum * sizeof(float)); float *numcount2 = (float *)malloc(classnum * sizeof(float)); for (int i = 0; i < classnum; i++) { numcount1[i]=numcount2[i]=0; } float count1 = 0, count2 = 0; double gini1,gini2,gini; gini1=gini2=gini=0; // 计算每一类的个数 for (int i = 0; i < row; i++) { if (dataset[i][index] < value) { count1 ++; for (int j = 0; j < classnum; j++) if (dataset[i][col-1]==class[j]) numcount1[j] += 1; } else { count2++; for (int j = 0; j < classnum; j++) if (dataset[i][col - 1] == class[j]) numcount2[j]++; } } // 判断分母是否为0，防止运算错误 if (count1==0) { gini1=1; for (int i = 0; i < classnum; i++) gini2 += (numcount2[i] / count2) * (numcount2[i] / count2); }else if (count2==0) { gini2=1; for (int i = 0; i < classnum; i++) gini1 += (numcount1[i] / count1) * (numcount1[i] / count1); }else { for (int i = 0; i < classnum; i++) { gini1 += (numcount1[i] / count1) * (numcount1[i] / count1); gini2 += (numcount2[i] / count2) * (numcount2[i] / count2); } } // 计算Gini指数 gini1 = 1 - gini1; gini2 = 1 - gini2; gini = (count1 / row) * gini1 + (count2 / row) * gini2; free(numcount1);free(numcount2); numcount1=numcount2=NULL; return gini; } ``` #### 寻找最佳分割点 我们需要根据计算出的Gini指数来决定最佳的分割点。具体做法是计算所有切分点Gini指数，选出Gini指数最小的切分点作为最后的分割点。 * 功能：选取数据的最优切分点 * 输出：数据中最优切分点下的树结构 ```c struct treeBranch *get_split(int row, int col, double **dataset, double *class, int classnum) { struct treeBranch *tree=(struct treeBranch *)malloc(sizeof(struct treeBranch)); int b_index=999; double b_score = 999, b_value = 999,score; // 计算所有切分点Gini系数，选出Gini系数最小的切分点 for (int i = 0; i < col-1; i++) { for (int j = 0; j < row; j++) { double value=dataset[j][i]; score=gini_index(i,value,row,col,dataset,class,classnum); if (score<b_score) { b_score=score; b_value=value