图论课程笔记免费下载.pdf

图论是数学的一个分支，它研究由一组顶点（节点）和这些顶点之间的边组成的抽象结构，这些结构被称为图。图论广泛应用于计算机科学、社交网络分析、生物信息学等多个领域。本《图论与应用》课程笔记详细介绍了图论中的多个重要概念和算法。 课程介绍了图的基本概念，包括无向图和有向图的定义。无向图由顶点集和边集构成，边连接两个顶点；而有向图中的边是有方向的，连接两个顶点时区分起点和终点。在图的分类中，若图中任意两个顶点都相连，则为完全图。若图中每个顶点的度（与其相连的边数）都相同，则称为正则图。除此之外，补图和自补图的概念也被提及，补图是指添加最少的边使原图变为完全图，而自补图指的是图与补图同构。 连通性是图论中另一个核心概念。对于无向图，若任意两个顶点都存在路径相连，则称为连通图；若去掉边的方向后仍然连通，则称为弱连通图；若任意两个顶点都互相可达，则称为强连通图。割点和割边是分析图连通性的重要工具，它们分别指在删除某个顶点或边后，图不再连通的情况。 图的矩阵表示中提到了关联矩阵、邻接矩阵和可达矩阵等不同的矩阵表示方法。关联矩阵记录了图中边与顶点的连接关系；邻接矩阵描述了顶点之间的邻接情况；而可达矩阵用于表示有向图中顶点间的可达性。这些矩阵结构不仅反映了图的结构信息，也支持了图的各种算法实现。 树是图的一个特殊类型，它是无环连通子图。树的定义和概念中涉及到了最小生成树的概念，它是连接图中所有顶点且边权值之和最小的树形结构。实现最小生成树的算法包括Kruskal算法和Prim算法，破圈法是一种构建最小生成树的策略。最短路径问题关注的是在加权图中找到两个顶点之间的最短路径。课程笔记中提到了Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法和Floyd算法，这些都是著名的解决最短路径问题的算法。 在图论中，独立集、支配集和匹配是三种重要的图结构。独立集是指一个顶点集合中任意两个顶点都不相邻；支配集是指一个顶点集合能控制图中所有顶点；匹配则是指边集中的边两两不相交。解决这些问题的算法包括布尔运算求解极大独立集、极小支配集和最大匹配。 平面图和图的着色是图论中研究图在平面上的布局以及图着色问题的章节。平面图是指可以在平面上画出来的图，使得任何两条边都不相交的图；对偶图是基于平面图的结构构建的另一个图。图的着色问题是指用尽可能少的颜色为图的顶点着色，使得相邻顶点颜色不同。图的色多项式是表示图在给定顶点数目下着色可能性的数学表达式。 此外，课程笔记还涉及到了图的同构概念，即两个图在结构上完全相同，可以由一个图通过顶点的重新标记得到另一个图。同构图的判断非常困难，需要仔细考察图的结点和边的关联关系。在图的矩阵表示中，无向图和有向图的关联矩阵、邻接矩阵和可达矩阵等矩阵的不同性质和应用被详细描述，这些矩阵是研究图结构的重要数学工具。 整体而言，图论课程笔记覆盖了图论的基本概念、图的分类、同构、连通性、矩阵表示、特殊图的类别（如欧拉图与哈密顿图）、树的定义和概念、最小生成树、最短路径问题、独立集、支配集与匹配、平面图与着色等多个核心知识点，为学习者提供了一个全面的图论知识框架。