无迹卡尔曼滤波代码

首先你需要知道卡尔曼滤波，卡尔曼滤波适用于线性系统，针对于非线性系统很好推广应用。EKF利用线性化的方式，让状态和协方差在线性化方程中传播，但是面对强非线性，这种方式误差较大，因为高斯分布的噪声经过非线性系统的分布并不是高斯分布。UKF利用5个采样点（无迹变换）在非线性系统中传播，降低了随机变量经过非线性系统传播的误差，效果强于EKF。针对P矩阵出现非正定的情况，其实有很多处理方式的。 ### 无迹卡尔曼滤波（UKF）详解与MATLAB实现 #### 一、卡尔曼滤波基础知识 卡尔曼滤波是一种递归算法，用于估计动态系统的状态，特别是当这些状态不能直接测量时。传统的卡尔曼滤波适用于线性系统，并假设过程噪声和测量噪声都是高斯分布。然而，在许多实际应用中，系统是非线性的，这就需要对卡尔曼滤波进行扩展以适应非线性系统。 #### 二、扩展卡尔曼滤波（EKF） EKF通过将非线性模型线性化来解决非线性问题。具体来说，它利用雅可比矩阵来近似状态转移方程和观测方程中的非线性部分。尽管EKF在一定程度上解决了非线性问题，但它仍然存在一些局限性：对于高度非线性的系统，这种线性化方法可能会引入较大的误差，尤其是在高斯分布经过非线性变换后不再是高斯分布的情况下。 #### 三、无迹卡尔曼滤波（UKF） 为了克服EKF在处理高度非线性系统时的局限性，无迹卡尔曼滤波(UKF)被提出。UKF的核心思想是使用一组精心选择的样本点（称为sigma点）来近似系统的概率分布，而不是像EKF那样直接线性化非线性函数。这些sigma点是基于当前的状态估计及其协方差矩阵生成的，它们经过非线性函数的变换后，可以更准确地逼近非线性系统中的概率分布。 ##### UKF的工作原理： 1. **Sigma点的生成**： - 对于具有\( L \)个状态变量的系统，UKF通常生成\( 2L + 1 \)个sigma点。 - 这些点围绕均值\( x \)分布，其中包含一个均值点以及\( L \)个与其对应的正负方向的点。 - 每个点都有相应的权重，用于计算后续步骤中的均值和协方差。 2. **预测步骤**： - 将每个sigma点通过非线性状态转移方程\( f \)进行变换，得到预测后的sigma点集。 - 使用预测sigma点集重新估计预测状态\( x_{k|k-1} \)及其协方差矩阵\( P_{k|k-1} \)。 3. **更新步骤**： - 同样地，将预测sigma点通过观测方程\( h \)进行变换，得到预测观测值。 - 计算残差（测量值与预测观测值之间的差异），并使用残差更新状态估计及其协方差矩阵。 4. **参数调整**： - \( \alpha \)控制了sigma点离均值的距离，其值越大意味着sigma点越远离均值。 - \( \beta \)影响了分布形状的权重，默认为2，适用于高斯分布。 - \( k_i \)是用于进一步调整sigma点分布的次要参数。 #### 四、MATLAB代码解析 根据给定的DEMO.m文件，我们可以看到一个具体的UKF实现示例。该示例中定义了一个三维的非线性系统，其状态转移方程由\( f \)表示，而观测方程由\( h \)表示。代码中的关键步骤包括： 1. **初始化**： - 定义了系统的基本参数如\( n \)（状态维度）、\( q \)（过程噪声标准差）、\( r \)（测量噪声标准差）等。 - 设置了初始状态\( s \)，并添加了噪声来模拟实际情况。 2. **主循环**： - 在每一步中，首先生成了一个测量值\( z \)，然后调用UKF函数来更新状态估计。 - 更新了真实状态\( s \)，以模拟系统的真实演变过程。 - 绘制了估计状态与真实状态的变化曲线。 #### 五、总结 通过上述分析，我们了解到UKF作为一种强大的非线性估计技术，在处理高度非线性问题时具有明显优势。相比于EKF，UKF通过使用sigma点更准确地捕捉非线性变换下的概率分布，从而提高了估计精度。此外，通过MATLAB代码的具体实现，我们也能更好地理解UKF算法的实际应用过程。在未来的研究和发展中，UKF将继续在各种领域发挥重要作用，特别是在那些需要精确估计非线性动态系统状态的应用场景中。