Harmonisk række

Musik, harmonisk række

I matematikken er den harmoniske række den uendelige række

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .$

Rækken og dens egenskaber

Rækken kaldes den harmoniske række, fordi bølgelængderne af overtonerne af en vibrerende streng er proportionelle til 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Rækken divergerer (langsomt) mod uendelig. Dette kan vises ved at bemærke, at den harmoniske række er ledvist større end eller lig rækken

$\sum _{k=1}^{\infty }2^{-\lceil \log _{2}k\rceil }\!=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+{\frac {1}{16}}\cdots$

$\ \ \ \ \ =1+\ {\frac {1}{2}}\ \ +\ \quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\ \quad \ \cdots$

som tydeligvis divergerer. (Dette bevis, der skyldes Nicole Oresme, er et højdepunkt i middelalderens matematik.) Faktisk gælder også, at summen af de reciprokke primtal

$\sum _{p}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+\cdots ,$

også divergerer mod uendelig (men dette er væsentligt sværere at bevise.) Den alternerende harmoniske række konvergerer derimod:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.$

Dette er et resultat af Taylorrækken af den naturlige logaritme.

Hvis det n'te harmoniske tal defineres som

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

gælder, at H_n vokser omtrent så hurtigt som den naturlige logaritme på n. Grunden hertil er, at summen approksimeres af integralet

$\int _{1}^{n}{1 \over x}\,dx,$

hvis værdi er ln(n). Mere præcis haves grænseværdien:

$\lim _{n\to \infty }H_{n}-\ln(n)=\gamma ,$

hvor γ er Euler-Mascheroni-konstanten. Det er blevet vist, at

1. Det eneste heltallige H_n er H₁.
2. Differensen H_m − H_n hvor m > n aldrig er et heltal.

Jeffrey Lagarias beviste i 2001, at Riemannhypotesen er ækvivalent med udsagnet

$\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} ,$

hvor σ(n) er summen af de positive divisorer af n.

Andre relevante definitioner

Den generelle harmoniske række er på formen

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}.$

Der gælder, at alle harmoniske rækker divergerer.

Rækkerne

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$

for p a positive real number kaldes p-rækkerne. Rækkerne konverger for p > 1 og divergerer ellers. For p = 1 er rækken den harmoniske række. Hvis p > 1 er summen af rækken ζ(p); det vil sige Riemanns zetafunktion på p.

Harmoniske middeltal

Et hvert led i den harmoniske række, er det harmoniske middeltal af sine to naboled

$a={\frac {1}{n-1}}\ \ ,\ \ b={\frac {1}{n}}\ \ ,\ \ c={\frac {1}{n+1}}$

Vi kan sige at b er det harmoniske middeltal mellem a og c. Det underbygges ved

$2ac\ =\ 2\cdot {\frac {1}{n-1}}\cdot {\frac {1}{n+1}}\ =\ {\frac {2}{(n-1)(n+1)}}\ =\ {\frac {2}{n^{2}-1}}$

$a+c\ =\ {\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n+1}}\ =\ {\frac {n+1+n-1}{(n-1)(n+1)}}\ =\ {\frac {2n}{n^{2}-1}}$

Med de to mellemregninger ovenover fås nu

${\frac {2ac}{a+c}}\ =\ {\frac {\frac {2}{n^{2}-1}}{\frac {2n}{n^{2}-1}}}\ =\ {\frac {2}{n^{2}-1}}\cdot {\frac {n^{2}-1}{2n}}\ =\ {\frac {2}{2n}}\ =\ {\frac {1}{n}}\ =\ b$

Se også

• Riemanns zetafunktion