Момант імпульсу

Момант імпульсу
${\vec {L}}=\left[{\vec {r}}\times {\vec {p}}\,\right]$
Размернасць	L2MT−1
Адзінкі вымярэння
СІ	м2·кг·с−1
СГС	см2·г·с−1
Заўвагі
псеўдавектар

Момант імпульсу (кінетычны момант, вуглавы момант, арбітальны момант, момант колькасці руху) характарызуе колькасць вярчальнага руху. Велічыня, якая залежыць ад таго, колькі масы круціцца, як яна размеркавана адносна восі кручэння і з якой скорасцю адбываецца кручэнне.

Варта ўлічыць, што кручэнне тут разумеецца ў шырокім сэнсе, не толькі як рэгулярнае кручэнне вакол восі. Напрыклад, нават пры прамалінейным руху цела міма адвольнай ўяўнага пункту, якія не ляжыць на лініі руху, яно таксама валодае момантам імпульсу. Найбольшую, мабыць, ролю момант імпульсу гуляе пры апісанні уласна вярчальнага руху. Аднак вельмі важны і для значна больш шырокага класа задач (асабліва — калі ў задачы ёсць цэнтральная або восевая сіметрыя, але не толькі ў гэтых выпадках).

Заўвага: момант імпульсу адносна пункту — гэта псеўдавектар, а момант імпульсу адносна восі — псеўдаскаляр.

Момант імпульсу замкнёнай сістэмы захоўваецца.

Момант імпульсу у класічнай механіцы

Сувязь паміж сілай F, момантам сілы τ, імпульсам $\scriptstyle {\mathbf {p} }$ і момантам імпульсу $\scriptstyle {\mathbf {L} }$

Момант імпульсу $\mathbf {L}$ матэрыяльнага пункта адносна некаторага пачатку адліку вызначаецца вектарным здабыткам яе радыус-вектара і імпульсу:

$~\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,$

дзе $~\mathbf {r}$ — радыус-вектар часціцы адносна абранага нерухомага ў дадзенай сістэме адліку пачатку адліку, $~\mathbf {p}$ — імпульс часціцы.

Для некалькіх часціц момант імпульсу вызначаецца як (вектарная) сума такіх членаў:

$~\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i},$

дзе $~\mathbf {r} _{i},\mathbf {p} _{i}$ — радыус-вектар і імпульс кожнай часціцы, якая ўваходзіць у сістэму, момант імпульсу якой вызначаецца.

(У мяжы колькасць часціц можа быць бясконцым, напрыклад, у выпадку цвёрдага цела з бесперапынна размеркаванай масай ці ўвогуле размеркаванай сістэмы гэта можа быць запісана як $~\mathbf {L} =\int \mathbf {r} \times \mathbf {dp} ,$ дзе $\mathbf {dp}$ — імпульс бясконца малога кропкавага элемента сістэмы).

У сістэме СІ момант імпульсу вымяраецца ў адзінках джоўль-секунда; Дж·с.

З вызначэння моманту імпульсу вынікае яго адытыўнасць: як, для сістэмы часціц у прыватнасці, так і для сістэмы, якая складаецца з некалькіх падсістэм, выконваецца:

$\mathbf {L} _{\Sigma }=\sum \limits _{i}\mathbf {L} _{i}$.

Заўвага: у прынцыпе момант імпульсу можа быць вылічаны датычна любога пачатку адліку (атрыманыя пры гэтым розныя значэнні звязаныя відавочным чынам); аднак часцей за ўсё (для зручнасці і пэўнасці) яго вылічаюць адносна цэнтра мас ці замацаванага пункту кручэння цвёрдага цела і т.п.).

Вылічэнне моманту

Так як момант імпульсу вызначаецца вектарным здабыткам, ён з’яўляецца псеўдавектарам, перпендыкулярным абодвум вектарам $~\mathbf {r}$ і $~\mathbf {p}$.

Аднак, у выпадках кручэння вакол нязменнай восі, бывае зручна разглядаць не момант імпульсу як псеўдавектар, а яго праекцыю на вось кручэння як скаляр, знак якога залежыць ад кірунку кручэння. Калі абраная такая вось, якая праходзіць праз пачатак адліку, для вылічэнні праекцыі вуглавога моманту на яе можна паказаць шэраг рэцэптаў у адпаведнасці з агульнымі правіламі знаходжання вектарнага здабытку двух вектараў.

$L=|\mathbf {r} ||\mathbf {p} |\sin \theta _{r,\;p},$

дзе $~\theta _{r,\;p}$ — вугал паміж $~\mathbf {r}$ і $~\mathbf {p}$, які вызначаецца так, каб паварот ад $~\mathbf {r}$ да $~\mathbf {p}$ праводзіўся супраць гадзіннікавай стрэлкі з пункту гледжання назіральніка, які знаходзіцца на дадатнай часткі восі кручэння. Напрамак павароту важны пры вылічэнні, так як вызначае знак шуканай праекцыі.

Запішам $~\mathbf {r}$ у выгядзе $~\mathbf {r} =\mathbf {r_{\parallel }} +\mathbf {r_{\perp }}$, дзе $~\mathbf {r_{\parallel }}$ — складнік радыус-вектара, паралельны вектару імпульсу, а $~\mathbf {r_{\perp }}$ — аналагічна, перпендыкулярны яму. $~\mathbf {r_{\perp }}$ з’яўляецца, па сутнасці, адлегласцю ад восі кручэння да вектару $~\mathbf {p}$, якую звычайна называюць «плячом». Аналагічна можна падзяліць вектар імпульсу на два складнікі: паралельны радыус-вектару $~\mathbf {p_{\parallel }}$ і перпендыкулярны яму $~\mathbf {p_{\perp }}$. Зараз, выкарыстоўваючы лінейнасць вектарнага здабытку, а таксама уласцівасць, згодна з якім здабытак паралельных вектараў роўны нулю, можна атрымаць яшчэ два выразы для $~L$.

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =(\mathbf {r_{\perp }} +\mathbf {r_{\parallel }} )\times \mathbf {p} =\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {p} +\mathbf {r_{\parallel }} \times \mathbf {p} =\mathbf {r_{\perp }} \times \mathbf {p} .$

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (\mathbf {p_{\perp }} +\mathbf {p_{\parallel }} )=\mathbf {r} \times \mathbf {p_{\perp }} .$

Захаванне вуглавога моманту

Закон захавання моманту імпульсу (закон захавання вуглавога моманту): вектарная сума ўсіх момантаў імпульсу адносна любога нерухомага пункту (або сума момантаў адносна любой нерухомай восі) для замкнёнай сістэмы застаецца пастаяннай з часам.

Вытворная моманту імпульсу па часе ёсць момант сілы:

$\tau ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ,$

Такім чынам, патрабаванне замкнёнасці сістэмы можа быць аслаблена да патрабаванні роўнасці нуля галоўнага (сумарнага) моманту знешніх сіл:

$\mathbf {L} _{\mathrm {system} }=\mathrm {constant} \leftrightarrow \sum \tau _{\mathrm {ext} }=0,$

дзе $~\tau _{\rm {ext}}$ — момант адной з сіл, прыкладзеных да сістэмы часціц. (Але вядома, калі знешнія сілы наогул адсутнічаюць, гэтае патрабаванне таксама выконваецца).

Матэматычна закон захавання моманту імпульсу вынікае з ізатрапіі прасторы, гэта значыць з інварыянтавасці прасторы адносна павароту на адвольны вугал. Пры павароце на адвольны бясконца малы вугал $~\delta \varphi$, радыус-вектар часціцы з нумарам $~i$ змяняецца на $~\delta \mathbf {r} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i}$, а скорасці — $~\delta \mathbf {v} _{i}=\delta \varphi \times \mathbf {v} _{i}$. Функцыя Лагранжа $~{\mathcal {L}}$ сістэмы пры такім павароце не зменіцца, з прычыны ізатрапіі прасторы. Таму $\delta {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\mathbf {r} _{i}+\delta \mathbf {r} _{i},\;\mathbf {v} _{i}+\delta \mathbf {v} _{i})-{\mathcal {L}}(\mathbf {r} _{i},\;\mathbf {v} _{i})=\sum \limits _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r} _{i}}}\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\delta \varphi \times \mathbf {v} _{i}\right)=0.$

З ўлікам ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\mathbf {v} _{i}}}}=\mathbf {p_{i}} ,\;{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }}=\mathbf {{\dot {p}}_{i}}$, дзе $~\mathbf {p} _{i}$ — абагульнены імпульс $~i$-тай часціцы, кожны складнік у суме з апошняга выразу можна перапісаць у выглядзе

${\dot {\mathbf {p} _{i}}}\,\delta \varphi \times \mathbf {r} _{i}+\mathbf {p} _{i}\,\delta \varphi \times \mathbf {{\dot {r}}_{i}} .$

Цяпер, карыстаючыся ўласцівасцю змешанага здабытку, здзейснім цыклічную перастаноўку вектараў, у выніку чаго атрымаем, выносячы агульны множнік:

$\delta {\mathcal {L}}=\delta \varphi \sum \limits _{i}\left(\mathbf {r} _{i}\times {\dot {\mathbf {p} _{i}}}+{\dot {\mathbf {r} _{i}}}\times \mathbf {p} _{i}\right)=\delta \varphi {\frac {d}{dt}}\sum \limits _{i}(\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i})=\delta \varphi {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0,$

дзе $\mathbf {L} =\sum \mathbf {L} _{i}=\sum \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {p} _{i}$ — момант імпульсу сістэмы. З прычыны адвольнасці $\delta \varphi$, з роўнасці $\delta {\mathcal {L}}=0$ вынікае $~{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0$.

На арбіце момант імпульсу размяркоўваецца паміж момантамі імпульсу ўласнага кручэння планеты і яе арбітальнага руху:

$\mathbf {L} _{\mathrm {total} }=\mathbf {L} _{\mathrm {spin} }+\mathbf {L} _{\mathrm {orbit} }.$

Момант імпульсу у электрадынаміцы

Пры апісанні руху зараджанай часціцы ў электрамагнітным поле, кананічны імпульс $~p$ не з’яўляецца інварыянтным. Як следства, кананічны момант імпульсу $~\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ таксама не інварыянты. Тады бярэм рэальны імпульс, які таксама называецца «кінетычным імпульсам»:

$~\mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c}},$

дзе $~e$ — электрычны зарад, $~c$ — скорасць святла, $~A$ — вектарны патэнцыял, Такім чынам, гамільтаніян (інварыянтны) зараджанай часціцы масы $m$ ў электрамагнітным полі:

$H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c}}\right)^{2}+e\varphi ,$

дзе $~\varphi$ — скалярны патэнцыял. З гэтага патэнцыялу вынікае закон Лорэнца. Інварыянтны момант імпульсу або «кінетычны момант імпульсу» вызначаецца:

$K=\mathbf {r} \times \left(\mathbf {p} -{\frac {e\mathbf {A} }{c}}\right).$

Момант імпульсу ў квантавай механіцы

Аператар моманту

У квантавай механіцы момант імпульсу квантуецца, гэта значыць ён можа змяняцца толькі па «квантавых ўзроўнях» паміж дакладна вызначанымі значэннямі. Праекцыя на любую вось моманту імпульсу часціц, абумоўленага іх прасторавым рухам, павінна быць цэлым лікам, памножаным на прыведзеную пастаянную Планка $\hbar$ ($h$ з рысай), якая вызначаецца як пастаянная Планка, падзеленая на $2\pi$. Эксперыменты паказваюць, што большасць часціц мае пастаянны ўнутраны момант імпульсу, які не залежыць ад іх руху праз прастору. Гэты спінавы момант імпульсу заўсёды кратны $\hbar /2$. Напрыклад, электрон ў стане спакою мае момант імпульсу $\hbar /2$.

У класічным вызначэнні момант імпульсу залежыць ад 6 зменных $~r_{x}$, $~r_{y}$, $~r_{z}$, $~p_{x}$, $~p_{y}$, и $~p_{z}$. Пераводзячы гэта на квантавамеханічныя вызначэнні, выкарыстоўваючы прынцып нявызначанасці Гейзенберга, атрымліваем, што немагчыма вылічыць усе шэсць зменных адначасова з любой дакладнасцю. Таму ёсць абмежаванне на тое, што мы можам даведацца або падлічыць аб практычным моманце імпульсу. Гэта значыць, што лепшае, што мы можам зрабіць — гэта падлічыць адначасова велічыню вектара моманту імпульсу і яго кампаненты па восях.

Матэматычна поўны момант імпульсу ў квантавай механіцы вызначаецца як аператар фізічнай велічыні з сумы двух частак, звязаных з прасторавым рухам — у атамнай фізіцы такі момант называюць арбітальным, і ўнутраным спінам часціцы — адпаведна, спінавай. Першы аператар дзейнічае на прасторавыя залежнасці хвалевай функцыі:

${\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }},$

дзе ${\hat {\mathbf {r} }}$ і ${\hat {\mathbf {p} }}$ — каардынатны і імпульсны аператар, адпаведна, а другі — на ўнутраныя, спінавыя. У прыватнасці, для адной часціцы без электрычнага зарада і без спіна, аператар вуглавога моманту можа быць запісаны як:

${\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla ),$

дзе $\nabla$ — аператар набла. Гэта самая распаўсюджаная форма аператара моманту імпульсу, але не самая галоўная, яна мае наступныя ўласцівасці:

$[L_{i},\;L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k},\quad \left[L_{i},\;\mathbf {L} ^{2}\right]=0$, дзе $\varepsilon _{ijk}$ — сімвал Леві-Чівіты.

і нават больш важныя падстаноўкі з гамільтаныянам часціцы без зарада і спіна:

$\left[L_{i},\;H\right]=0$

Сіметрыя кручэння

Аператары моманту імпульсу звычайна сустракаюцца пры рашэнні задач са сферычнай сіметрыяй у сферычных каардынатах. Тады момант імпульсу ў прасторавым адлюстраванні:

$-{\frac {1}{\hbar ^{2}}}\mathbf {L} ^{2}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}$

Калі знаходзяць уласныя значэнні гэтага аператара, атрымліваюць наступнае:

$L^{2}\mid l,\;m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)\mid l,\;m\rangle$

$L_{z}\mid l,\;m\rangle =\hbar m\mid l,\;m\rangle ,$

дзе

$\langle \theta ,\;\varphi \mid l,\;m\rangle =Y_{l,\;m}(\theta ,\;\varphi )$

— сферычныя функцыі.

Вылічэнне моманту імпульсу ў нерэлятывісцкай механіцы

Калі маецца матэрыяльны пункт масай $~m$, які рухаецца са скорасцю $~\mathbf {v}$ і знаходзіцца ў пункце, які апісваецца радыус-вектарам $~\mathbf {r}$, то момант імпульсу вылічаецца па формуле:

$~\mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} ,$

дзе $\times$ — знак вектарнага здабытку.

Каб разлічыць момант імпульсу цела, яго трэба разбіць на бясконца малыя кавалачкі і вектарна прасумаваць іх моманты як моманты імпульсу матэрыяльных пунктаў, гэта значыць узяць інтэграл:

$\mathbf {L} =\int \limits _{V}{\mathbf {dL} }=\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \,dm}.$

Можна перапісаць гэта праз шчыльнасць $\rho$:

$\mathbf {L} =\int \limits _{V}{\mathbf {r} \times \mathbf {v} \rho dV}.$

(Калі лічыць, што $\rho (x,y,z)$ — абагульненая функцыя, якая ўключае, магчыма, і дэльтападобныя члены, то апошняя формула прымянімая і да размеркаваных, і да дыскрэтных сістэм).

Для сістэм, што здзяйсняюць кручэнне як цэлае (як абсалютна цвёрдае цела) вакол адной з восей сіметрыі (ці, больш агульна — вакол так званых галоўных восей інерцыі цела), справядлівыя суадносіны

$~\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }},$

дзе $~I$ — момант інерцыі адносна восі кручэння, $~{\boldsymbol {\omega }}$ — вектар вуглавой скорасці.

У агульным выпадку вектар моманту звязаны з вектарам вуглавой скорасці праз лінейны аператар моманту інерцыі (тэнзар інерцыі):

$\mathbf {L} ={\hat {I}}{\boldsymbol {\omega }}$

За пачатак адліку пры вылічэнні момантаў інерцыі або тэнзара інерцыі ў прынцыпе можна ўзяць любыя вось або пункт, пры гэтым будуць атрыманы розныя велічыні, звязаныя адзін з адным праз тэарэму Штэйнера. Аднак практычна па змаўчанні звычайна выбіраецца цэнтр мас ці замацаваная вось (цэнтр), што з’яўляецца часцей за ўсё і больш зручным.

Гл. таксама

• Момант інерцыі
• Момант сілы

Літаратура

• Момант імпульсу // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 10: Малайзія — Мугаджары / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2000. — Т. 10. С. 516.
• Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М.: Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720 с.
• Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975. — 441 с.
• Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М.: Мир, 1993. — 352 с.

Спасылкі

• Момент импульса, «Кошка Конопаткина»