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命名
小寫	〇
大寫	零
序數詞	第零;
識別
種類	整數
性質
質因數分解	不在可因數分解的整數的範圍內; （任意質數皆為其質因數）
表示方式
值	0
花码	〇
算筹
高棉數字	០
摩尔斯电码	-----
二进制	0
三进制	0(3)
四进制	0(4)
五进制	0(5)
八进制	0(8)
十二进制	0(12)
十六进制	0(16)
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2020年2月29日 (六) 04:40的版本

0（〇／零）是-1与1之间的整数，也是兩個奇數之間的偶數。0既不是正数也不是负数。在数论中，0不属于自然数；但在集合论和计算机科学中，0属于自然数。0在整数、实数和其他的代数結構中都有著單位元這個很重要的性質。

歷史

0字體的發明始於印度。公元前2000年，印度最古老的文獻《吠陀》已有特別「0」概念的應用，當時的0在印度表示無（空）的位置。約在6世紀初，印度開始使用命位記數法。7世紀初印度大數學家葛拉夫.瑪格蒲達首先說明了0的0是0，任何數加上0或減去0得任何數。遺憾的是，他並沒有提到以命位記數法來進行計算的實例。也有的學者認為，0的概念之所以在印度產生並得以發展，是因為印度佛教中存在著「絕對無」這一哲學思想。公元733年，印度一位天文學家在訪問現伊拉克首都巴格達期間，將印度的這種記數法介紹給了阿拉伯人，因這種方法簡便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯數字。這套記數法後來又傳入西歐地區，由歐洲發揚光大。

说起“0”的出现，应该指出，中國古代文字中，“零”字出现很早。不过那时它不表示“空无所有”，而只表示“零碎”、“不多”的意思。如“零头”、“零星”、“零丁”。“一百零五”的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着阿拉数字的引进。“105”恰恰读作“一百零五”，“零”字与“0”恰好对应，“零”也就具有了“0”的含义。0在中国古代叫做金元数字。

关于0这个數字的概念在其它地区很早就有。巴比伦人、埃及人、玛雅人以及印度人分别独立发明了“零”^[1]。公元前3000年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。古埃及早在公元前2千年就有人在记帐时用特别符号来记载零。

瑪雅文明最早發明特别字体的0。瑪雅數字中0 以貝殼模樣的象形符號代表。 0这个字体的数字是在5世纪由古印度人发明。他们最早用黑点“.”表示零，后来逐渐变成了“0”。

7世纪初印度大数学家葛拉夫·玛格蒲达首先说明了任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是，他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。公元733年，印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间，将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人，因这种方法简便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。在东方国家由于数学是以运算为主（西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字，加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾經引起西方人的困惑，當時西方認為所有數都是可數，而0這個數字會使很多算式、邏輯不能成立^[2]（如除以0），甚至認為是魔鬼數字，而被禁用^[3]；直至約公元15、16世紀，0才逐漸給西方人所認同，使西方數學有快速發展。^[4]

中国古代的筹算数码中没有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”就可以表示为“┴　╥ ”(〦〧〨)。数字中没有“零”，是很容易发生错误的。所以后来有人把铜钱摆在空位上，以免弄错，这或许与“零”的出现有关。自从前4世纪，中国数学家已经了解負數和零的概念。^[5]1世纪的《九章算術》说：「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」（這段話的大意是「减法：遇到同符号数字应相减其数值，遇到异符号数字应相加其数值，零减正数的差是負數，零减負數的差是正数。」）以上文字裡的「無入」通常被数学历史家认为是零的概念。（全文见维基文库的《九章算術》）虽然如此，但是當時并没有使用符号來表示零。

在690年時，武则天颁布了则天文字，其中一个字就是「〇」，当时的意义同“星”。現在表示零的符號「0」是該字符的變體。^[6]

七世紀的古印度婆羅摩笈多是第一個提出有關0的計算規則的數學家。瞿曇悉達于718年将印度数字〇引入中国，以此来代替算筹。^[7] ^[8]宋代蔡沈《律率新书》中用方格表示空缺。金朝《大明历》中有“四百〇三”，“三百〇九”等数字^[9]。1247年，秦九韶在其著作數書九章中使用符號「〇」來表示零的概念。^[10]李冶《测圆海镜》第十四问中用

元

。

代表： $-480-x$ 。

10世纪波斯数学家伊本·拉班《印度算术原理》第一部分叙述用印度数字0-9（० ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹）为基础的十进位制四则运算和开平方、开立方的土盘程序。

在1202年時，義大利商人斐波納契寫了一本《算盤書》。在東方中由於數學是以算術為主（西方當時以幾何和邏輯為主），由於運算上的需要，自然地引入了0這個數。

数学性质

0是否属于自然数仍有争议，数论领域认为0不属于自然数，集合论和计算机科学领域认为0属于自然数。
国际标准ISO 31-11:1992（英语：ISO_31-11）中，从集合论角度规定：符号 $\mathbb {N}$ 所表示的自然数包括正整数和0。中国国家标准GB 3102-11:93参照国际标准作出同样规定。

平方數，為0的平方。
立方數，為0的立方。
第1個普洛尼克數，為0與1的乘積。下一個為2。
第0個佩爾數。下一個為1。
第0個斐波那契數。前一個、下一個與下兩個皆是1、前兩個是-1。
0是個高斯整數。
0可被2整除，所以0是偶數。
分數中的分母不可以是0。
0非正非负，0的相反数和绝对值是其本身。
0乘以任何实数都等于0（0×10=0），任何实数加上0等于其本身（1+0=1）。
0没有倒数和负倒数，任何數（包括0）除以0皆無意義。
0不能做对数的底。
0的正数次方等于0，0的负数次方是無意義。
0的0次方目前是未定式，部分領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。^[11]^[12]^[13]
0! 定義為1。
0是任何數的倍數。
0作為序数一般僅出現於計算機領域。
0是斐波那契数列中，僅有的3個平方數之一（另外兩個是1與144）。^[14]

0的因數和倍數

當 $a\times b=c$ （ $a\,\!$ 、 $b\,\!$ 、 $c\,\!$ 為整數）時，定義 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 為 $c\,\!$ 的因數， $c\,\!$ 為 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 的倍數。

\because a\times 0=0

（

a\,\!

為任何實數）

\therefore a

為0的因數，0為

a\,\!

的倍數，也就是說，任何整數都是0的因數。

另外，因为0不能作为任何数的因数，所以0没有倍数。

人类文化

在計算機科學中，0經常用於表示布尔值假（F）。
在数位电路中，不使用精确的电压值来代表信号的值，只使用「0」和「1」两个值。「0」表示低于预先规定的阈值电压，被称为低电平或者逻辑0。与之对应，「1」表示高于预先规定的阈值电压，被称为高电平或者逻辑1。注意负逻辑时的规定相反，高电平为逻辑0。
在電話網路中，國家代碼（國家或地區號）開始為00（兩個0），其下的地方區號（郡或市等地區代碼）開始為0（一個0）。
数字0的使用使數學快速發展。

參考來源

文献

柯利弗德·皮寇弗; 陳以禮（翻譯）. The Math Book:From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics [數學之書]. 時報文化. 2013-04-16. ISBN 978-957-135-699-0 （中文（繁體））.

引用

^ 柯利弗德 2013，第45頁
^ Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141. ISBN 9781441183910.
^ Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6. ISBN 9780738711485.
^ J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor数学史档案. [2015-01-14].
^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3
^ 小寫〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的編碼是U+3007，勿與圈號（CIRCLE）混淆。
^ Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科學出版社, 1964
^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 東京: 東洋書店, 1999, ISBN 4-88595-226-3
^ 郭书春著《中国科学技术史·数学卷》394页科学出版社2010
^ Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.
^ http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9205/9205211v1.pdf
^ http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html. 缺少或|title=为空 (帮助)
^ sci.math FAQ: What is 0^0?
^ JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. （原始内容存档于2012-06-30）. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

参见

外部連結

倪梁康：〈零與形而上學〉（2009）

[1] 柯利弗德 2013，第45頁

[2] Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141. ISBN 9781441183910.

[3] Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6. ISBN 9780738711485.

[4] J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor数学史档案. [2015-01-14].

[5] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[6] 小寫〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的編碼是U+3007，勿與圈號（CIRCLE）混淆。

[7] Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科學出版社, 1964

[8] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 東京: 東洋書店, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[9] 郭书春著《中国科学技术史·数学卷》394页科学出版社2010

[10] Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.

[11] ttps://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9205/9205211v1.pdf

[12] ttps://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html. 缺少或|title=为空 (帮助)

[13] sci.math FAQ: What is 0^0?

[14] JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. （原始内容存档于2012-06-30）. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

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 * 0不能做[[对数]]的底。
 * 0的正数次方等于0，0的负数次方是無意義。
-* {{link-en|0的0次方|zero to the power of zero}}目前是[[未定式]]，部分領域中，如[[組合數學]]，常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。<ref>http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9205/9205211v1.pdf</ref><ref>{{cite web|url=http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html|title=<!-- empty -->}}</ref><ref>[http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ sci.math FAQ: What is 0^0?<!-- 机器人生成的标题 -->]</ref>
+* [[0的0次方]]目前是[[未定式]]，部分領域中，如[[組合數學]]，常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。<ref>http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/9205/9205211v1.pdf</ref><ref>{{cite web|url=http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html|title=<!-- empty -->}}</ref><ref>[http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ sci.math FAQ: What is 0^0?<!-- 机器人生成的标题 -->]</ref>
 * 0[[階乘|!]] 定義為1。
 * 0是任何數的[[倍數]]。