Xem mã nguồn của Phần bù (lý thuyết tập hợp)

{{Short description|Set of the elements not in a given subset}}
{{multiple image
| align = right
| image1 = Venn01.svg
| width1 = 250
| alt1 = Bên trong hình vuông có một hình tròn màu đỏ và bên ngoài hình tròn đó màu trắng, bên ngoài màu trắng. Biên giữa hình tròn và hình vuông có màu đen.
| caption1 = Nếu {{mvar|A}} là phần được tô màu đỏ trong hình vẽ này...
| image2 = Venn10.svg
| width2 = 250
| alt2 = An unfilled circle inside a square. The area inside the square not covered by the circle is filled with red. The borders of both the circle and the square are black.
| caption2 = ... thì bù của {{mvar|A}} là tất cả những gì còn lại.
}}

Trong [[lý thuyết tập hợp]], '''phần bù''' hay '''bù''' của [[tập hợp (toán học)]] {{mvar|A}} thường được ký hiệu là {{math|''A''<sup>∁</sup>}} (hoặc {{math|''A''′}}),<ref>{{chú thích web|title=Complement and Set Difference|url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U1/S6/Complement3.htm|access-date=2020-09-04|website=web.mnstate.edu|archive-date=2021-01-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20210123090320/http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U1/S6/Complement3.htm|url-status=dead}}</ref> là tập hợp các [[phần tử (toán học)|phần tử]] không nằm trong {{mvar|A}}.<ref name=":1">{{chú thích web|title=Complement (set) Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/complement-set-.html|access-date=2020-09-04|website=www.mathsisfun.com}}</ref>

Khi tất cả các tập đều nằm trong một [[vũ trụ (lý thuyết tập hợp)|vũ trụ]] (tập vũ trụ {{mvar|U}} là tập tất cả các tập hợp đang cần xét), thì '''phần bù tuyệt đối''' của {{mvar|A}} là tập tất cả các phần tử thuộc {{mvar|U}} nhưng không nằm trong {{mvar|A}}.

'''Phần bù tương đối''' của {{mvar|A}} tương ứng với tập hợp {{mvar|B}} còn được gọi là '''hiệu tập hợp''' giữa {{mvar|B}} với {{mvar|A}}, đượ ký hiệu là <math>B \setminus A,</math> và là tập các phần tử thuộc {{mvar|B}} nhưng không thuộc về {{mvar|A}}.

== Phần bù tuyệt đối ==
<!-- This section is linked from [[Định lý Bayes]] and [[absolute set complement]] -->
[[Tập tin:Venn10.svg|250px|thumb|'''Phần bù tuyệt đối''' của hình tròn màu trắng là miền màu đỏ]]

=== Định nghĩa ===
Nếu {{mvar|A}} là một tập hợp, thì '''phần bù tuyệt đối''' của {{mvar|A}} (hay nói gọn đi là '''bù của {{mvar|A}}''') là tập tất cả phần tử không thuộc {{mvar|A}} (tập này nằm trong một tập lớn hơn đã được định nghĩa trước). Nói cách khác, gọi {{mvar|U}} là tập đang chứa tất cả các phần tử đang cần phải xét (nếu như không cần xác định {{mvar|U}} thì có nghĩa nó đã được định nghĩa trước ngay từ đầu), khi đó phần bù tuyệt đối của {{mvar|A}} là phần bù tương đối của {{mvar|A}} trong {{mvar|U}}:
<math display=block>A^\complement = U \setminus A.</math>

Nói rõ hơn:
<math display=block>A^\complement = \{ x \in U : x \notin A \}.</math>

Phần bù tuyệt đối của {{mvar|A}} thường được ký hiệu bởi {{math|''A''<sup>∁</sup>.}} Các cách ký hiệu khác bao gồm <math>\overline A, A',</math><ref name=":1" /> <math>\complement_U A, \text{ và } \complement A.</math><ref name="Bou">{{harvnb|Bourbaki|1970|p=E II.6}}.</ref>

=== Các ví dụ ===
* Giả sử rằng tập vũ trụ là tập tất cả các [[số nguyên]]. Nếu {{mvar|A}} là tập các số lẻ thì bù của {{mvar|A}} là tập các số chẵn. Nếu {{mvar|B}} là tập hợp các [[bội (toán học)|bội]] của 3, thì bù của {{mvar|B}} là tập các số đồng dư với 1 hoặc 2 môđun 3 (nói đơn giản hơn là các số không chia hết cho 3).
* Giả sử rằng tập vũ trụ là [[bộ bài chuẩn 52 lá]], nếu tập hợp {{mvar|A}} là tập các lá bích, thì bù của {{mvar|A}} là hợp của tập lá cơ, tập lá rô và tập lá chuồn. Nếu tập {{mvar|B}} là hợp của tập lá chuồn và rô thì bủ của {{mvar|B}} là hợp của tập lá cơ và bích.

=== Tính chất ===
Gọi {{mvar|A}} và {{mvar|B}} là hai tập hợp nằm trong vũ trụ {{mvar|U}}. Sau đây là hai tính chất quan trọng của phần bù tuyệt đối:

[[Luật De Morgan]]:<ref name="Halmos-1960" />
* <math>\left(A \cup B \right)^\complement = A^\complement \cap B^\complement.</math>
* <math>\left(A \cap B \right)^\complement = A^\complement \cup B^\complement.</math>

Luật bù:<ref name="Halmos-1960" />
* <math>A \cup A^\complement = U.</math>
* <math>A \cap A^\complement = \varnothing .</math>
* <math>\varnothing^\complement = U.</math>
* <math> U^\complement = \varnothing.</math>
* <math>\text{Nếu }A\subseteq B\text{, thì }B^\complement \subseteq A^\complement.</math>
*: (có thể chứng minh bằng [[chứng minh phản chứng|phản chứng]]).

[[Phép chập (toán học)|Phép chập]] hay phần bù kép:
* <math>\left(A^\complement\right)^\complement = A.</math>

Quan hệ giữa bù tương đối và bù tuyệt đối:
* <math>A \setminus B = A \cap B^\complement.</math>
* <math>(A \setminus B)^\complement = A^\complement \cup B = A^\complement \cup (B \cap A).</math>

Quan hệ của hiệu tập hợp:
* <math> A^\complement \setminus B^\complement = B \setminus A. </math>

Hai luật bù đầu tiên ở trên chỉ ra rằng nếu tập {{math|''A''}} không rỗng là [[tập con thực sự]] của {{math|''U''}}, thì {{math|{''A'', ''A''<sup>∁</sup>}{{null}}}} là [[phân hoạch tập hợp|phân hoạch]] của {{math|''U''}}.

== Phần bù tương đối ==
<!-- Many links redirect to this section: [[difference (set theory)]], [[difference of two sets]], [[relative complement]], [[set-theoretic difference]], [[hiệu tập hợp]], [[set minus]], [[set subtraction]], [[set theoretic difference]], [[setminus]] -->
=== Định nghĩa ===
Nếu {{math|''A''}} và {{math|''B''}} là hai tập hợp, thì '''phần bù tương đối ''' của {{math|''A''}} trong {{math|''B''}},<ref name="Halmos-1960">{{harvnb|Halmos|1960|p=17}}.</ref> hay còn gọi là '''hiệu tập hợp''' của {{math|''B''}} với {{math|''A''}},<ref>{{harvnb|Devlin|1979|p=6}}.</ref> là tập tất cả các phần tử thuộc {{math|''B''}} nhưng không thuộc {{math|''A''}}.
[[Tập tin:Relative compliment.svg|thumb|230x230px|'''Phần bù tương đối''' của {{math|''A''}} trong {{math|''B''}} dưới ký hiệu toán học: <math>B \cap A^\complement = B \setminus A</math>]]
Phần bù tương đối của {{math|''A''}} trong {{math|''B''}} được ký hiệu là <math>B \setminus A</math> theo [[ISO 31-11#Sets|tiêu chuẩn ISO 31-11]]. Đôi khi cũng được ký hiệu là <math>B - A,</math> song ký hiệu này không rõ ràng trong một số ngữ cảnh (ví dụ chẳng hạn, [[phép cộng Minkowski|các phép tập hợp của Minkowski]] trong [[giải tích hàm]]). Chẳng hạn như, nó có thể coi là tập tất cả các phần tử <math>b - a,</math> trong đó {{math|''b''}} thuộc về {{math|''B''}} và {{math|''a''}} thuộc về {{math|''A''}}.

Dưới ký hiệu toán học:
<math display=block>B \setminus A = \{ x\in B : x \notin A \}.</math>

=== Các ví dụ ===
* <math>\{ 1, 2, 3\} \setminus \{ 2,3,4\} = \{ 1 \}.</math>
* <math>\{ 2, 3, 4 \} \setminus \{ 1,2,3 \} = \{ 4 \} .</math>
* Nếu <math>\mathbb{R}</math> là tập các [[số thực]] và <math>\mathbb{Q}</math> là tập các [[số hữu tỉ]] thì <math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math> là tập các [[số vô tỉ]]

=== Tính chất ===
{{See also|Danh sách định thức và quan hệ tập hợp|Đại số tập hợp}}

Đặt {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, và {{math|''C''}} là các tập hợp. Các định thức sau chỉ ra các tính chất quan trọng của phần bù tương đối:

:* <math>C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B).</math>
:* <math>C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B).</math>
:* <math>C \setminus (B \setminus A) = (C \cap A) \cup (C \setminus B),</math>
:*:trong đó có trường hợp đặc biệt <math>C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A)</math> chứng minh rằng phần giao của hai tập hợp có thể biểu diễn bằng hiệu tập hợp)
:* <math>(B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A).</math>
:* <math>(B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C).</math>
:* <math>A \setminus A = \empty.</math>
:* <math>\empty \setminus A = \empty.</math>
:* <math>A \setminus \empty = A.</math>
:* <math>A \setminus U = \empty.</math>
:* Nếu <math>A\subset B</math>, thì <math>C\setminus A\supset C\setminus B</math>.
:* <math>A \supseteq B \setminus C</math> tương đương với <math>C \supseteq B \setminus A</math>.

== Quan hệ bù ==
[[Quan hệ hai ngôi]] <math>R</math> được định nghĩa là tập con của [[tích tập hợp]] <math>X \times Y.</math> '''Quan hệ bù''' <math>\bar{R}</math> là bù của quan hệ <math>R</math> trong <math>X \times Y.</math> Bù của quan hệ <math>R</math> được viết ngắn gọn như sau
<math display=block>\bar{R} \ = \ (X \times Y) \setminus R.</math>
Trong lý thuyết, <math>R</math> được xem là [[ma trận logic]] trong đó các hàng biểu diễn các phần tử thuộc <math>X,</math> còn cột biểu diễn các phần tử thuộc <math>Y.</math> Khi <math>aRb</math> đúng, thì giá trị của <math>aRb</math> bằng với 1 trong ô hàng <math>a,</math> cột <math>b.</math> trong ma trận lôgic. Ma trận lôgic của quan hệ bù của <math>R</math> được xây bằng cách đổi các số 1 sang 0 và các số 0 về số 1 trong ma trận lôgic của <math>R</math>

Quan hệ bù cùng với [[hợp quan hệ]],[[quan hệ ngược]] và [[đại số tập hợp]] là các [[phép toán (toán học)|phép toán]] sơ cấp của [[vi tích phân quan hệ]].

== Ký hiệu trong LaTeX ==
{{See also|Danh sách ký hiệu toán học theo chủ đề}}

Trong ngôn ngữ soạn thảo tài liệu [[LaTeX]], lệnh <code>\setminus</code><ref name="The Comprehensive LaTeX Symbol List">[http://ctan.unsw.edu.au/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220305100117/http://ctan.unsw.edu.au/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf|date=2022-03-05}} The Comprehensive LaTeX Symbol List</ref> thường được dùng để hiển thị ký hiệu hiệu tập hợp, ký hiệu này gần giống với [[dấu gạch chéo ngược]] . Khi được hiển thị, lệnh <code>\setminus</code> giống ý hệt <code>\backslash</code>, chỉ ngoại trừ việc nó có nhiều khoảng cách đằng trước và đằng sau dấu gạch chéo, na ná chuỗi lệnh LaTeX <code>\mathbin{\backslash}</code>. Phiên bản khác <code>\smallsetminus</code> có trong gói amssymb. Ký hiệu <math>\complement</math> (ngược với <math>C</math>) lấy từ lệnh <code>\complement</code>. (Nó tương với ký hiệu Unicode ∁.)

== Trong ngôn ngữ lập trình ==
Một số [[ngôn ngữ lập trình]] đã cài đặt sẵn một số [[cấu trúc dữ liệu]] như [[tập hợp (khoa học máy tính)|tập hợp]]. Thường thì cấu trúc đó có hoạt động giống với [[tập hữu hạn]], tức là nó chỉ có hữu hạn số phần tử không được sắp theo thứ tự nào cả. Trong một số trường hợp, các phần tử trong tập không nhất thiết phải phân biệt, tức là cấu trúc lúc này mô tả [[đa tập hợp]] (''multiset'') thay vì tập hợp thông thường. Các ngôn ngữ này thường có toán tử hoặc hàm viết sẵn cho phần bù và hiệu tập hợp.

Các toán tử này có thể áp dụng cho cả các cấu trúc dữ liệu không phải tập hợp trong toán học, ví dụ [[danh sách liên kết (cấu trúc dữ liệu)|danh sách liên kết]] hoặc [[cấu trúc dữ liệu mảng|mảng]]. Do đó một vài ngôn ngữ lập trình có sẵn hàm <code>set_difference</code> kể cả khi đầu vào của nó không nhất thiết phải là tập hợp.

== Xem thêm ==

* {{annotated link|Đại số của tập hợp}}
* {{annotated link|Giao (lý thuyết tập hợp)}}
* {{annotated link|Lý thuyết tập hợp ngây thơ}}
* {{annotated link|Hiệu đối xứng}}
* {{annotated link|Hợp (lý thuyết tập hợp)}}

== Chú thích ==

{{tham khảo}}
{{tham khảo|group=note}}

== Tham khảo ==

* {{chú thích sách 
 | last = Bourbaki
 | first = N.
 | author-link = Nicolas Bourbaki
 | title = Théorie des ensembles
 | publisher = Hermann
 | place = Paris
 | year = 1970
 | isbn = 978-3-540-34034-8
 | language = fr
}}
* {{chú thích sách
 | last = Devlin
 | first = Keith J.
 | author-link = Keith Devlin
 | title = Fundamentals of contemporary set theory
 | url = https://archive.org/details/fundamentalsofco0000devl
 | series = Universitext
 | publisher = [[Springer-Verlag|Springer]]
 | year = 1979
 | isbn = 0-387-90441-7
 | zbl = 0407.04003
}}
* {{chú thích sách
 | last = Halmos
 | first = Paul R.
 | author-link = Paul Halmos
 | title = Naive set theory
 | url = https://archive.org/details/naivesettheory0000halm
 | url-access = registration
 | series = The University Series in Undergraduate Mathematics
 | publisher = van Nostrand Company
 | year = 1960
 | isbn = 9780442030643
 | zbl = 0087.04403
}}

==Liên kết ngoài==
* {{MathWorld |title=Complement |id=Complement }}
* {{MathWorld |title=Complement Set |id=ComplementSet }}

{{lý thuyết tập hợp}}
{{logic toán học}}

{{DEFAULTSORT:Complement (set theory)}}
[[Thể loại:Khái niệm cơ bản trong lý thuyết tập hợp]]
[[Thể loại:Phép toán trên tập hợp]]