Перегляд вихідного коду сторінки Хвильова функція

{{unibox}}{{Квантова механіка}}
'''Хвильова функція''', або '''псі-функція''' <math>\psi \,</math>, — [[комплекснозначна функція]], що використовується у [[Квантова механіка|квантовій механіці]] для опису стану квантовомеханічної системи. Хвильова функція пов'язана з [[густина ймовірності|густиною ймовірності]] перебування частинки у деякій ділянці простору в деякий момент часу таким чином: ймовірність перебування частинки в деякій точці пропорційна квадрату модуля хвильової функції в ній.<ref name="vakarchuk">{{Cite web |url=http://www.ktf.franko.lviv.ua/books/QM4/QM4.pdf |title=Квантова механіка |accessdate=24 січня 2017 |archive-date=16 травня 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170516221431/http://www.ktf.franko.lviv.ua/books/QM4/QM4.pdf }}</ref>

Хвильова функція є функцією від усіх [[Ступені вільності|ступенів свободи]] цієї частинки, яким, своєю чергою, відповідає деякий набір комутівних квантових змінних.

На відміну від класичного опису, в якому частинки розглядаються як [[матеріальна точка|матеріальні точки]], що мають певну [[координата|координату]], а їхній рух повністю описується [[Траєкторія|траєкторією]] і швидкістю, хвиля, що її описує хвильова функція, не локалізована в одній точці, а в загальному вигляді займає весь нескінченний простір (хоча більша частина її, зазвичай, зосереджена в деякій ділянці). Таким чином, у такому описі поняття траєкторії не має сенсу, а рух описується в термінах [[Потік векторного поля|потоку]] енергії та імпульсу.

З хвильовою природою частинок пов'язані такі явища як [[дифракція]] та [[Інтерференція хвиль|інтерференція]] масивних частинок, квантування рівнів енергії [[гармонійний осцилятор|гармонійного осцилятора]], [[принцип невизначеності]] та інші. 

Опис квантової системи за допомогою функції, яка б описувала її хвильові властивості запропонував [[Ервін Шредінгер]].

== Історія ==
У 1905 році [[Альберт Ейнштейн|Ейнштейн]] пояснив явище [[фотоефект]]у, використавши припущення про те, що світло випромінюється і поглинається окремими порціями, [[квант]]ами, а також встановив залежність між енергією кванта і його частотою, а у 1916 році, він же показав залежність між імпульсом [[фотон]]а, і його довжиною хвилі, λ = h/p.

У 1922 році [[Артур Комптон|Артуром Комптоном]] було відкрите [[Комптонівське розсіювання|непружне розсіяння фотона на електроні]], що вказувало на його корпускулярні властивості, тоді як дослідження [[дифракція|дифракції]] і [[Інтерференція світла|інтерференції]] світла чітко вказувало на його хвильову природу.

У 1923 році [[Луї де Бройль]] висловив ідею, згідно з якою, не тільки квантам світла, а й будь-якій частинці можна співставити хвилю, що описується рівнянням λ = h/p. Це рівняння є математичним вираженням ідеї про корпускулярно-хвильовий дуалізм для масивних і безмасових частинок. У 1925 році [[Клінтон Джозеф Девіссон|Клінтон Девіссон]] і [[Лестер Джермер]] продемонстрували дифракцію [[електрон]]ів при відбитті від кристала [[нікель|нікелю]]. [[Дослід Девіссона — Джермера]] став підтвердженням припущення де Бройля. У 1926 році, Ервін Шредінгер опублікував [[Рівняння Шредінгера|рівняння, що зараз відоме під його іменем]]. Це рівняння дозволяє знаходити конкретний вигляд хвильових функцій, проте, ні гіпотеза де Бройля, ні рівняння Шредінгера нічого не говорили про природу хвиль матерії. Дослідження показували, що ці хвилі не пов'язані з розподілом матерії у просторі&nbsp;— при спробі фіксації, частинка завжди знаходиться в одній точці простору, а експерименти з [[Пружне зіткнення|пружного розсіяння]] показували, що вся частинка відбивається як одне ціле.

У 1926 році [[Макс Борн|Борн]] висловив припущення, що хвильова функція пов'язана з амплітудою [[ймовірність|ймовірності]] спостереження частинки у деякій точці. Його гіпотеза була прийнята як частина [[Копенгагенська інтерпретація|Копенгагенської інтерпретації]] квантової механіки. У тому ж році було запропоноване релятивістське узагальнення рівняння Шрьодингера, що зараз відоме під назвою [[рівняння Клейна — Ґордона]].

У 1927 році [[Вольфганг Паулі]] узагальнив рівняння Шрьодингера для частинок зі [[спін]]ом 1/2 в електромагнітному полі ([[рівняння Паулі]]).

== Інтерпретація ==
Хвильова функція є неспостережуваною величиною, тобто, її значення не може бути заміряне безпосередньо. 

[[Макс Борн]] запропонував інтерпретувати хвильову функцію, як [[амплітуда ймовірності|амплітуду ймовірності]]. В цій інтерпретації квадрат модуля хвильової функції відповідає [[густина ймовірності|густині ймовірності]] положення частинки. Таким чином, [[імовірність]] того, що частинка перебуває в області простору ''W'' в момент часу ''t'' визначається як

: <math> \operatorname{P}(W) = \int \limits_W |\psi(\mathbf{r},t)|^2 dW. \quad </math> де |ψ(x)|<sup>2</sup> = ψ<sup>*</sup>ψ, а ψ*&nbsp;— функція, комплексно спряжена з ψ.

Іноді ця інтерпретація розглядається в [[статистика|статистичному]] контексті: якщо існує велика кількість частинок, що знаходяться в одному і тому ж квантовому стані, то P(W) означає долю частинок, що знаходяться в області V.

У випадку однієї частинки, її також можна розглядати як частину часу, що вона проводить в області V.
== Математичний опис ==

=== Властивості ===
Оскільки хвильова функція є [[Комплексна функція|комплексною]], її можна виразити у вигляді 
: <math>\psi=R(x,y,z,t)e^{i\alpha(x,y,z,t)}</math>
В такому випадку R є модулем функції, а <math>e^{i\alpha(x,y,z,t)}</math> називають фазовим множником. 

З цього запису видно, що при множенні хвильової функції на деяке число <math>e^{i\beta}</math>, значення амплітуд ймовірності, що їй відповідають, не зміняться. Таке множення називається глобальним фазовим поворотом, або глобальним калібрувальним перетворенням, а [[симетрія]] відносно такого перетворення (вона належить до групи симетрії [[Унітарна група|U(1)]]) є одним з видів [[Калібрувальна інваріантність|калібрувальної інваріантності]].

З фізичних міркувань, на ψ-функцію накладаються такі обмеження: вона має бути однозначною, [[Неперервна функція|неперервною]] і квадратично-інтегрованою (остання умова означає існування [[інтеграл]]у від квадрату функції). <ref name="vakarchuk"/>

{{якірець|Умова нормування}}Також, оскільки частинка не може безслідно зникнути, ймовірність знаходження її в нескінченно великому просторі буде рівна одиниці, тобто є достовірною:
: <math> \int \limits_{\infty} |\psi(\mathbf{r},t)|^2 dV = 1. \quad </math>

Ця умова має назву ''умови нормування'' хвильової функції<ref name="vakarchuk"/>. Вона виконується в практично в усіх реальних випадках, проте у деяких важливих теоретичних моделях, таких як частинка, що рухається за відсутності зовнішніх полів, ψ-функція не спадає на нескінченності, а тому нормування не є можливим. Такі стани називають [[Делокалізований стан|делокалізованими]].

Зазвичай, при виведенні хвильової функції з деяких теоретичних міркувань, ψ-функція виявляється ненормованою, і цей інтеграл виявляється рівним деякому числу n. В такому випадку, для нормування достатньо поділити ψ-функцію на <math> \sqrt{n}</math>.

=== Рівняння Шредінгера ===
Основним рівнянням квантової механіки, що використовується для знаходження хвильової функції за конкретних умов є рівняння Шредінгера<ref>{{Cite web |url=http://pidruchniki.com/11221213/prirodoznavstvo/hvilova_funktsiya_hvili_imovirnosti_obraz_atoma |title=Хвильова функція. Хвилі імовірності. Образ атома |accessdate=24 січня 2017 |archive-date=2 лютого 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170202024722/http://pidruchniki.com/11221213/prirodoznavstvo/hvilova_funktsiya_hvili_imovirnosti_obraz_atoma }}</ref>:
:<math> i \hbar {d \psi (\mathbf{r}, t) \over d t}   = - \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi (\mathbf{r}, t)+U(x,y,z,t) \psi</math>,
де U — [[потенційна енергія]], а Δ — [[лапласіан]].
Для знаходження ψ-функції, рівняння спочатку розв'язують в загальному вигляді для заданого U, а потім, підставляючи граничні умови, отримують частинний розв'язок.

Оскільки рівняння Шредінгера є лінійним і однорідним [[Диференціальні рівняння|диференціальним рівнянням]], воно має важливу властивість: якщо воно має кілька розв'язків, φ<sub>1</sub>, φ<sub>2</sub>, φ<sub>3</sub> тощо, то будь-яка лінійна комбінація цих розв'язків також буде розв'язком. Ця властивість називається ''принцип суперпозиції''. Її фізична інтерпретація полягає в тому, що частинка має ймовірність знаходження в будь-якому з можливих для неї станів.

Практично важливим варіантом рівняння Шредінгера є випадок стаціонарного поля, тобто такого, коли U не залежить від часу. У такому полі хвильова функція теж є стаціонарною. Крім того, у цьому випадку повна механічна енергія частинки лишається постійною.

Рівняння Шредінгера є нерелятивістським, і не враховує спін частинок. Для таких випадків використовуються рівняння:
* [[Рівняння Клейна — Ґордона]]
* [[Рівняння Паулі]] для частинок зі спіном 1/2
* [[Рівняння Дірака]] для релятивістських частинок зі спіном

=== Квантові оператори ===
Фізична величина, яка може визначатися в експерименті, у квантовій механіці задається певним [[Ермітів оператор|ермітовим оператором]] — [[лінійне відображення]], що діє на хвильову функцію. Якщо <math> \hat{A} </math>&nbsp;— це квантовомеханічний оператор, що пов’язаний з деякою вимірюваною фізичною величиною, то середнє значення такої величини можна визначити як <math> \langle A \rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi dV </math>

Серед вживаних операторів можна виділити:
* Оператор [[імпульс (механіка)|імпульсу]]: 
:<math>\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla</math>
* Оператор [[Кінетична енергія|кінетичної енергії]]:
:<math>\hat{T}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta</math>
* Оператор [[Момент імпульсу|моменту імпульсу]]:
<math>\hat{\mathbf{L}}=-i\hbar[\mathbf{r},\nabla]</math>
* Оператор [[спін]]у:
<math>\hat{s}=\frac{1}{2}\hat{\sigma}</math>, де <math>\hat{\sigma}_{x}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>, <math>\hat{\sigma}_{y}=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}</math>, <math>\hat{\sigma}_{z}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}</math> — [[Матриці Паулі]].

== Принцип невизначеності ==
{{main|Принцип невизначеності}}
Квантові оператори дозволяють дізнатися середнє значення деяких величин. Відхилення величини від цього значення дорівнює <math> A-\langle A \rangle</math>, для оператора A. 
Якщо розглянути дві величини, відхилення від середнього значення для імпульсу і для координати, то виявиться, що добуток середніх значень квадратів цих величин не може бути меншим за деяке скінченне значення, а саме<ref name="vakarchuk"/> <math>\frac{\hbar^2}{4}</math>. 
Той же результат можна описати як:
:<math> \sigma_{x}\sigma_{p} \geq \frac{\hbar}{2}</math>
де σ — [[Стандартне відхилення|середнє квадратичне відхилення]] деякої величини.

Ця формула говорить про те, що ніяким експериментом не можливо одночасно встановити імпульс частинки і її координату в просторі. Будь-яке вимірювання імпульсу змінює координату, тим сильніше, чим більш точним воно є, і навпаки. 

Принцип невизначеності сильно змінив розуміння значення вимірювання, а також впливу експериментатора на досліджуваний об’єкт — так званий ''ефект спостерігача''.

Схожий закон пов’язує і енергію з часом: невизначеність значення енергії тим більша, чим на меншому проміжку часу вона вимірюється, і навпаки.

== Хвильова функція системи багатьох частинок ==

Хвильова функція квантової системи, що складається з кількох частинок, залежить від координат всіх частинок. Наприклад, для двох частинок <math> \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) </math>. При визначенні середніх значень спостережуваних величин інтегрування проводиться у всьому [[Конфігураційний простір (фізика)|конфігураційному просторі]]. Наприклад, для двох частинок 
: <math> \langle A(t) \rangle = \int \psi^*(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) \hat{A} \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) dV_1 dV_2 </math>,

У випадку тотожності частинок, на хвильову функцію накладається додаткова умова, пов'язана з інваріантністю щодо перестановок цих частинок, згідно з [[принцип нерозрізнюваності частинок|принципом нерозрізненості]]. Квантові частинки поділяються на два класи - [[ферміон]]и й [[бозон]]и. Для ферміонів 
:<math> \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) =  -\psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1, t) </math>, 

тобто хвильова функція міняє знак при перестановці частинок. Таку функцію називають антисиметричною щодо перестановок. Для бозонів
:<math> \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) =  \psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1, t) </math>, 

тобто при перестановці частинок хвильова функція залишається незмінною. Таку функцію називають симетричною щодо перестановок.

<br />

== Симетрія ==
Електронна хвильова функція <math> \psi(\vec{r}_{1},\sigma_{1};\,\vec{r}_{2},\sigma_{2};\,...;\,\vec{r}_{N},\sigma_{N}) </math> N-електронної системи із заданою геометричною структурою будується у вигляді скінченного розкладу по багатоелектронним базисним функціям <math> \Phi_{K} </math>

<math> \psi_{Q}=\sum^{ndet}_{K=1}A_{KQ}\Phi_{K}, </math>

де <math> Q </math> - номер електронного стану (нумерація починається із основного стану, <math> Q=1; </math> за відсутності виродження стану із <math> Q<1 </math> - збудженні), <math> ndet </math> - число функцій <math> \Phi_{K} </math>. Функції <math> \Phi_{K} </math> записуються у вигляді детермінантів Слетера ромірності N, побудованих на зайнятих молекулярних спін-орбіталей - одноелектронних хвильових функцій <math> \psi(\vec{r}_{i},\sigma_{i}), </math> кожна з яких залежить від просторових <math> \vec{r}_{i} </math> та спінових <math> \sigma_{i} </math> координат лише одного електрона:

<math> \Phi_{K}=\frac{1}{\sqrt{N}}\begin{vmatrix}\psi_{1K}(\vec{r}_{1},\sigma_{1})&\psi_{2K}(\vec{r}_{1},\sigma_{1})&...&\psi_{NK}(\vec{r}_{1},\sigma_{1})\\ \psi_{1K}(\vec{r}_{2},\sigma_{2})&\psi_{2K}(\vec{r}_{2},\sigma_{2})&...&\psi_{NK}(\vec{r}_{2},\sigma_{2})\\ ...&...&...&... \\ \psi_{1K}(\vec{r}_{N},\sigma_{N})&\psi_{2K}(\vec{r}_{N},\sigma_{N})&...&\psi_{NK}(\vec{r}_{N},\sigma_{N})\\\end{vmatrix}. </math>

Функції <math> \Phi_{K} </math> відрізняються тим, які саме N спін-орбіталей з їх загального числа обрані для побудови детермінанта. Таким чином, кожній <math> \Phi_{K} </math> відповідає певний варіант розшарування N електронів по спін-орбіталям (електронна конфігурація). У нерелятивістському наближенні спін-орбіталі записуються у вигляді добутку просторової частини - молекулярної орбіталі на спінову функцію:

<math> (\vec{r}_{i},\sigma_{i})=\varphi(\vec{r}_{i})\cdot\eta(\sigma_{i}). </math>

Спінова функція <math> \eta(\sigma_{i}) </math>, відповідна проєкція спіну <math> +1/2\hbar </math> , позначається символом <math> \alpha, </math> проєкції <math> -1/2\hbar </math> символом <math> \beta. </math>
<ref>{{Cite book|title=О.В.Сизова, Н.В.Иванова, А.А.Ванин - Молекулярная симметрия в неорганической и координационной химии.|last=|first=|year=|publisher=|location=|pages=|language=|isbn=}}</ref><br />
== Приклади ==
=== Вільна частинка ===
{{main|Вільна частинка}}
Вільною частинкою називається частинка, що рухається без зовнішнього впливу, тобто U(x, y, z, t) = 0. В такому випадку рівняння Шредінгера для частинки з енергією Е має вигляд:
:<math>\Delta\psi+k^2\psi=0</math>, де <math>k=\frac{2mE}{\hbar^2}</math>.

Розв’язком цього рівняння є 
:<math>\psi(x,y,z)=Ce^{\frac{i}{\hbar}\vec p \vec r}</math>

Як видно, ймовірність знайти частинку є рівною в будь-якій точці простору. З цієї причини, хвильове рівняння для такого випадку не нормується. На практиці, абсолютно вільна частинка є ідеалізованою моделлю, а в реальності в просторі завжди є деякі поля.

=== Частинка у прямокутній потенціальній ямі ===
{{main|Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі}}
[[Файл:Particle in a box wavefunctions 2.svg|міні|Деякі з можливих розв’язків рівняння Шредінгера для прямокутної ями]]
У випадку одномірної нескінченно високої [[Потенціальна яма|потенціальної ями]] з краями в точках 0 і a, U(x)=0, коли 0 < x < a і [[нескінченність|нескінченності]] за межами цього проміжку. [[Граничні умови|Граничними умовами]] є рівність хвильової функції нулю у точках 0 і а.

Розв’язками такого рівняння буде ряд функцій:
:<math>\phi_n=C_nsin(\frac{\pi nx}{a})</math>, що описують набір [[Стояча хвиля|стоячих хвиль]].
З умови нормування видно, що <math>C_n=\sqrt{\frac{2}{a}}</math>.

Враховуючи принцип суперпозиції, фізичний зміст цих розв'язків є таким: частинка має високу ймовірність бути знайденою у пучностях [[Синусоїда|синусоїди]], що вміщує ціле або напівціле число періодів між 0 і а. Це значно відрізняється від рішень цієї ж задачі для класичних частинок, які рівномірно відбиваються від однієї стінки до іншої, і мають рівні ймовірності бути знайденими у будь-якій точці всередині ями.

Енергія частинки у відповідному стані дорівнює:
:<math>E_n=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma}n^2</math>.

Як видно, енергія частинки в таких умовах є квантованою, тобто може приймати лише деякі дискретні значення. Чим більшою є енергія частинки, тим більше періодів синусоїди може бути розміщене між границями ями, і тим більше положень є доступними для частинки. Іншим важливим наслідком цих розв'язків є той факт, що енергія не може опускатися нижче деякого мінімального значення <math>E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma}</math>. Це значення називається ''мінімальна енергія''.

=== Гармонічний осцилятор ===
{{main|Квантовий осцилятор}}
Класичний [[гармонічний осцилятор]] — матеріальна точка, що рухається за гармонічним законом, тобто, коливання якої відбуваються за синусоїдальним законом. У випадку квантової системи, положення частинки не є визначеним, тому таке визначення буде некоректним. 

Квантовим осцилятором вважається частинка, що знаходиться у потенційному полі, що має мінімум, наприклад U(x)=kx<sup>2</sup>/2 (в одномірному випадку).

Тоді рівняння Шредінгера приймає вигляд
:<math>\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(E-\frac{m\omega^2x^2}{2})\psi=0</math>,
а його розв’язки
:<math>\psi_n=C_ne^{-\frac{z^2}{2}}H_n(z)</math>, де
:<math>z=x\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}</math>
а H<sub>n</sub> — [[поліноми Ерміта]]
:<math>H_n(z)=(-1)^ne^{z^2}\frac{d^n}{dz^n}(e^{-z^2})</math>.

Хвильовим функціям ψ<sub>n</sub> відповідають енергетичні рівні 
:<math>E_n=\hbar\omega(n+\frac{1}{2})</math>.

Як видно з рівняння, квантовий осцилятор також має мінімальний енергетичний рівень, що носить назву ''нульових коливань'' E<sub>0</sub>=hω/2. Прикладом фізичного явища, спричиненого такими коливаннями є незамерзання рідкого [[гелій|гелію]] навіть при температурі [[абсолютний нуль|абсолютного нуля]].

=== Прямокутний потенціальний бар’єр ===
{{main|Тунелювання}}
У одномірному випадку потенційного бар'єру що починається в точці 0, закінчується в точці a, і має деяку висоту U, і частинки, що налітає на нього зліва (зі сторони 0), рівняння Шредінгера розпадається на три:

:<math>\begin{cases}  \frac{d^2\psi_1}{dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi_1=0,& x<0 \\ \frac{d^2\psi_2}{dx^2}+\frac{2m(E-U)}{\hbar^2}\psi_2=0,& 0\le x < a \\ \frac{d^2\psi_3}{dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi_3=0,& x \ge a \end{cases}</math>

Ці рівняння мають такі загальні розв'язки:
:<math>\begin{cases}  \psi_1 = Ae^{ikx} + Be^{-ikx} \\ \psi_2 = Ce^{iqx} + De^{-iqx}\\ \psi_3 = Fe^{ikx} + Ge^{-ikx}
\end{cases}</math>, 
де <math>k=\frac{2mE}{\hbar^2}, q=\frac{2m(E-U)}{\hbar^2}</math>

Фізичний сенс цих рівнянь є таким: <math> Ae^{ikx}</math> відповідає частинці, що падає на бар'єр, <math>Be^{-ikx}</math> — частинці, що відбилася від нього, <math>Fe^{ikx}</math> — частинці, що перетнула бар'єр, а <math>Ge^{-ikx}</math> — частинці, що падає на бар'єр зправа (таких частинок немає, тому G=0).

Граничні умови задаються як рівність функцій ψ<sub>1</sub> і ψ<sub>2</sub> у точці 0, рівність функцій ψ<sub>2</sub> і ψ<sub>3</sub> у точці а, відсутність частинок, що падають на бар'єр з правої сторони, а також закон збереження частинок: сума ймовірностей проходження бар'єру і відбиття від нього, дорівнює ймовірності падіння на бар'єр. 

Застосовуючи ці умови, можна знайти співвідношення A і F, яке залежить від співвідношення енергії частинки і висоти бар’єру, але виявляється завжди більшим за нуль і меншим за одиницю. Це означає, що частинка, енергія якої більша за U може відбитися від бар’єру, а частинка, енергія якої менша за U має шанс пройти через нього. Останнє явище називається тунелюванням. 

== Вектор стану ==
Для опису [[елементарна частинка|елементарних частинок]], які можуть мати відмінний від нуля [[спін]], однокомпонентної, [[скаляр]]ної, хвильової функції недостатньо. Рух таких частинок задається сукупністю із кількох хвильових функції, яка має ширшу назву: [[вектор стану]].
: <math> \psi = \left( \begin{matrix} \psi_1 \\ \vdots \\ \psi_N \end{matrix}\right) </math>.

Наприклад, [[електрон]] зі спіном 1/2 описується сукупністю чотирьох хвильових функцій.

Незважаючи на слово «вектор», вектор стану не є справжнім вектором у просторі. Тут цей термін вживається радше в сенсі вектора [[лінійна алгебра|лінійної алгебри]]. Щодо просторових властивостей, то при обертанні системи координат, вектор стану загалом може мати особливі властивості. Наприклад, вектор стану для електрона є [[спінор]]ом.

Зазвичай, сукупність кількох хвильових функцій, які входять до складу вектора стану, теж називають хвильовою функцією.

== Див. також ==
{{Портал|Математика}}
* [[Матриця густини]]
* [[Хвиля]]
* [[Матрична механіка]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Джерела ==
* {{книга
|автор       = [[Білий Михайло Улянович|Білий М. У.]], Охріменко Б. А.
|заголовок   = Атомна фізика
|рік         = 2009
|видавництво = Знання
|місто        = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок    = 559
}}
* {{книга
|автор        = [[Федорченко Адольф Михайлович|Федорченко А. М.]]
|заголовок    = Теоретична фізика
|частина      = Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика
|том          = 2
|рік          = 1993
|видавництво  = Вища школа
|місто        = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок     = 415
}}
* {{книга
|автор       = [[Юхновський Ігор Рафаїлович|Юхновський І. Р.]] 
|заголовок   = Основи квантової механіки
|рік         = 2002
|видавництво = Либідь
|місто        = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок    = 392
}}

[[Категорія:Квантова механіка]]