Liksidig triangel

Liksidig triangel

En liksidig triangel är en triangel vars sidor är lika långa. Alla vinklar i en sådan triangel är 60° ($\scriptstyle {\frac {\pi }{3}}$) eftersom en triangels totala vinkelsumma är 180° ($\textstyle \pi$).

En liksidig triangel är en regelbunden polygon med tre sidor och har därför Schläfli-symbolen $\scriptstyle \left\{3\right\}$.

Egenskaper

Figur 2. Den liksidiga triangeln $\triangle ABC$. Dess inskrivna cirkel är röd, och den omskrivna cirkeln är grön.

För den liksidiga triangeln $\triangle ABC$ med sidlängden $a$ i figur 2 gäller:

Den liksidiga trianglens höjd

En liksidig triangels höjd ges av: $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$

Härledning

Betrakta exempelvis den rätvinkliga triangeln $\triangle AC'C$ i figur 2 med längden på hypotenusan $|{\overline {AC}}|=a$ och längden på kateterna $|{\overline {AC'}}|={\frac {a}{2}}$ respektive $|{\overline {CC'}}|=h$

Pythagoras sats ger:

$a^{2}=({\frac {a}{2}})^{2}+h^{2}={\frac {a^{2}}{4}}+h^{2}\Leftrightarrow$

$h^{2}=a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}={\frac {3a^{2}}{4}}\Leftrightarrow$

$h={\sqrt {\frac {3a^{2}}{4}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$

Omvänt har vi också $a={\frac {2h}{\sqrt {3}}}$

Den liksidiga triangelns area

En liksidig triangels area ges av: $A={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}$

Härledning

$A={\frac {h\cdot a}{2}}$

med höjden enligt ovan $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ får vi

$A={\frac {{\frac {\sqrt {3}}{2}}a\cdot a}{2}}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ och

$A={\frac {h\cdot a}{2}}={\frac {h\cdot {\frac {2h}{\sqrt {3}}}}{2}}={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}$

De inskrivna och omskrivna cirklarnas radier

Den inskrivna cirkelns radie ges av: $r={\frac {a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {h}{3}}={\frac {R}{2}}$ och den omskrivna cirkelns radie ges av: $R={\frac {a}{\sqrt {3}}}={\frac {2h}{3}}=2r$

Härledning

Betrakta de båda kongruenta rätvinkliga trianglarna $\triangle AMC'$ och $\triangle ABA'$. Hypotenusans längd hos dessa är $R$ respektive $a$ medan den till hörnet $A$ motstående kateten har längden $r$ respektive ${\frac {a}{2}}$

${\frac {R}{r}}={\frac {a}{({\frac {a}{2}})}}=2\Leftrightarrow R=2r$

Vi ser också att höjden $h=|{\overline {CM}}|+|{\overline {MC'}}|=R+r$ och då $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$ enligt ovan har vi:

$3r=R+r=h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a\Leftrightarrow r={\frac {a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {({\frac {2h}{\sqrt {3}}})}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {h}{3}}$ och

$R=2r=2\cdot {\frac {a}{2{\sqrt {3}}}}={\frac {a}{\sqrt {3}}}$ och $R=2r={\frac {2h}{3}}$

Referenser

• Trianglar på Matteboken.se