Hypotenus er den lengste siden i en rettvinklet trekant. Hypotenusen er på motsatt side av den rette vinkelen i trekanten. De to andre sidene i trekanten kalles kateter.
Bruk
Hypotenusen er viktig fordi den gjør det mulig å beregne avstander og størrelser uten å måle dem direkte.
Hypotenusen brukes blant annet til navigasjon, for å regne ut krefter og hastigheter i mekanikk, i trigonometri og i datagrafikk.
Lengden av hypotenusen
For å regne ut hvor lang hypotenusen er, kan man bruke en matematisk formel som kalles Pytagoras' setning. Hvis lengden av katetene er a og b, og hypotenusens lengde er c, så er denne formelen slik:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
Pytagoras' setning gjelder bare for trekanter med en rett vinkel.
Eksempel
Hvis \(a = 3\) og \(b = 4\) kan vi finne lengden til hypotenusen slik:
\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\]
Avstanden mellom to punkt
Hypotenusen kan brukes til å finne avstander mellom to punkt i et koordinatsystem. Avstanden mellom de to punktene danner en rettvinklet trekant sammen med avstanden målt i \(x\)-retning og avstanden målt i \(y\)-retning.
Eksempel
Hvis Mathias står fire kilometer øst for et veikryss og Anne står tre kilometer nord for samme veikryss, kan vi finne avstanden mellom dem:
\[L = \sqrt{(4 \text{ km})^2 + (3 \text{ km})^2} = 5 \text{ km}\]
Lengden av et skråplan
Et skråplan kan danne en rettvinklet trekant sammen med høyden og lengden til skråplanet. Lengden av skråplanet er hypotenusen.
Eksempel
En stige står lent mot en husvegg. Stigen, veggen og bakken danner en rettvinklet trekant. Stigen er hypotenusen. Hvis stigen når fire meter opp på veggen og står 1,5 meter fra veggen, kan vi finne lengden til stigen:
\[L = \sqrt{(4 \text{ m})^2 + (1,5 \text{ m})^2} \approx 4,3 \text{ m}\]
Samme fremgangsmåte kan brukes for eksempel til å beregne lengden av et skråtak.
Diagonalen i et rektangel
Diagonalen i et rektangel kan danne en rettvinklet trekant sammen med bredden og høyden til rektangelet.
Eksempel
Hvis et rektangel er 15 meter bredt og åtte meter høy, kan vi finne lengden til diagonalen:
\[L = \sqrt{(15 \text{ m})^2 + (8 \text{ m})^2} = 17 \text{ m}\]
Krefter i fysikken
Hvis vi deler opp en kraft i to retninger, vil de to delene sammen med størrelsen til kraften, danne en trekant. Størrelsen til kraften er hypotenusen.
Eksempel
Hvis en kraft er tolv newton i \(x\)-retning og fem newton i \(y\)-retning, er størrelsen til kraften:
\[F = \sqrt{(12 \text{ N})^2 + (5 \text{ N})^2} = 13 \text{ N}\]
Noen ganger vet vi hvor stor en kraft er i \(x\)-retning og \(y\)-retning. Da kan vi bruke hypotenusen for å finne hvor stor den totale kraften er.
Hastigheter
Hvis et objekt beveger seg i en retning og samtidig blir flyttet i en annen retning, kan vi bruke hypotenusen til å finne den totale farten til objektet.
Eksempel
En båt krysser en elv. Selv om båten styrer rett mot elvebredden på motsatt side, vil den bli dratt nedover med elven. Hastigheten til elven, hastigheten til båten gjennom vannet og den totale hastigheten til båten danner en rettvinklet trekant der den totale farten til båten er hypotenusen.
Hvis båten krysser elven fra øst til vest med en fart på åtte knop, og elva renner nordover med en fart på seks knop, blir den totale farten til båten:
\[v = \sqrt{(8 \text{ kn})^2 + (6 \text{ kn})^2} = 10 \text{ kn}\]
Samme fremgangsmåte kan brukes for eksempel for en bil i sidevind, en svømmer som krysser en elv og en fugl som flyr i vinden.